LIBROS DE MATEMATICA DEL CIMES-IICES

ELEMENTOS DE CONJUNTOS Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD

A                        INTRODUCION

 El presente texto es el noveno Libro de la  “MAESTRIA EN MATEMATICA APLICADA A LA ECONOMIA Y FINANZAS”  que el IICES está desarrollando con varias universidades de Centroamérica, e Institutos de Investigación y Educación.  La teoría de conjuntos es la base de la teoría de la probabilidad  y  la  teoría de la probabilidad es la base de los modelos de toma de decisiones econométricos y por esta razón el presente texto  nos brinda las herramientas necesarias para abordar posteriormente los textos del IICES “las bases del muestreo” y “el control estadístico y procesos”  que presentamos en los siguientes módulos para abordar finalmente la teoría econométrica y sus diversas aplicaciones.   El concepto de probabilidad, se relaciona  con  las propiedades de la frecuencia relativa.   A partir de ella, y junto con las definiciones de probabilidad condicionada y la de sucesos independientes, se deducen los teoremas fundamentales del Cálculo de Probabilidades.

Nos centraremos posteriormente en el fundamento que une la teoría de la probabilidad y la estadística aplicada, esto es, la  variable aleatoria, mostrando de esta manera, como puede emplearse la teoría de la probabilidad para sacar conclusiones precisas acerca de una población en base a una muestra extraída de ella, y que muchos de los estudios estadísticos son de hecho, estudio de las propiedades de una o más variables aleatorias.  Llegamos así al estudio de las características asociadas a una variable aleatoria introduciendo los conceptos de esperanza y varianza matemática, relacionándolos con los conceptos de media y varianza de una variable estadística, para finalizar con las funciones de probabilidad y distribuciones de probabilidad de uso mas frecuente, respaldándonos con los paquetes estadístico “Statistica” y el “SPSS”.  El minitab lo utilizamos en el texto de “Constrol Estadístico de la Calidad y Procesos”.   El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística inductiva o inferencial.   Para trabajar con el cálculo de probabilidades es necesario fijar previamente cierta terminología. Vamos a introducir parte de ella en las próximas líneas.

En el sentido antes descrito,  en la parte B  principiamos desarrollando las operaciones entre conjuntos de manera intuitiva y de esta manera proseguir con el concepto de variable aleatoria en la parte C  para seguir con las funciones de probabilidad de variable discreta  entre ellas la Binomial, Poisson, Bernoulli.  Las aplicaciones de  se realizan con el Excell  y el paquete estadístico STATISTICA, de esta manera se logran interesantes aproximaciones entre la binomial y la Poisson..    Cubrimos  el concepto de esperanza matemática.   En los concepto derivados de la variable aleatoria continua cubrimos la normal  y las aproximaciones de la binomial con la normal.     Se analizan las otras  funciones de probabilidad entre ellas la t  student, la Fisher y otras mediante el STATISTICA.  Las demostraciones de los teoremas de las funciones discretas y contínuas las efectuamos gracias al documento de la Universidad de Málaga en Bioestadística que se encuentra disponible al público lector vía Internet.  Nos seguimos apoyándonos en los modelos de probabilidad del paquete Statistica  en lo referido a otras funciones de probabilidad.  La segunda componente del Libro Teoría de Conjuntos y Probabilidad la efectuamos en la parte D  donde abordamos conceptos sobre la teoría de la estimación respaldándonos siempre en la hoja electrónica Excell y  los paquetes estadísticos.   En la cuarta parte la  E  abordamos las pruebas de hipótesis.      Y en la  parte  F  la   presentamos la bibliografía.    Con la nueva tecnología computarizada se refuerza la intuición para desarrollar el proceso enseñanza aprendizaje a mejores niveles de comprensión.

 

TABLA DE CONTENIDO DE “ELEMENTOS DE CONJUNTOS Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD”

 

 

 

 

 

Página

A

 

 

 

INTRODUCCIÓN

1

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

ELEMENTOS INTUITIVOS DE LA TEORIA DE COMJUNTOS

2

 

I

 

 

CONCEPTOS BASICOS

2

 

II

 

 

OPERACIONES ENTRE COJUNTOS

5

C

 

 

 

ELEMENTOS DE LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD

11

 

I

 

 

CONCEPTOS BASICOS

12

 

II

 

 

ESPACIO MUESTRAL  DE  UN  EXPERIMENTO  ALEATORIO

13

 

 

 

 

 

13

 

 

1

 

EL SUCESO SEGURO

13

 

 

2

 

EL SUCESO IMPOSIBLE

13

 

 

3

 

EL SUCESO CONTRARIO A UN SUCESO A

13

 

 

4

 

OPERACIONES BASICAS CON SUCESOS ALEATORIOS

14

 

 

 

 

 

 

 

III

 

 

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD

17

 

IV

 

 

DEFINICION DE PROBABILIDAD

20

 

V

 

 

LA   PROBABILIDAD  CLÁSICA:  EJEMPLOS

21

 

VI

 

 

DEFINICION AXIOMATICA DE PROBABILIDAD

22

 

VII

 

 

CONCEPTO DE - ALGEBRA DE SUCESOS

23

 

VIII

 

 

PROBLEMAS RESUELTOS CON LAS PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

29

 

IX

 

 

REPASO SOBRE EL  DESARROLLO  AXIOMATICO  DE  LA  PROBABILIDAD

30

 

X

 

 

EJERCICIOS SOBRE  CONJUNTOS  Y   PROBABILIDAD

31

 

XI

 

 

LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

33

 

XII

 

 

EL CALCULO DE LA  PROBABILIDAD CONDICIONAL Y PROBLEMAS RESUELTOS

34

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LOS EVENTOS INDEPENDIENTES

35

 

 

 

 

 

 

 

XIII

 

 

LA PROBABILIDAD   SUBJETIVA 

38

 

 

 

 

 

 

CH

 

 

 

FUNCIONES DE PROBABILIDAD

40

 

I

 

 

UN EJEMPLO SOBRE VARIABLE ALEATORIA

40

 

II

 

 

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA

41

 

III

 

 

LA FUNCION DE PROBABILIDAD

45

 

IV

 

 

LA FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

48

 

V

 

 

LA ESPERANZA MATEMATICA EN VALORES DISCRETOS

49

 

VI

 

 

FUNCIONES ESPECIALES DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

52

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LA FUNCION DE PROBABILIDAD DE BERNOULLI

52

 

 

2

 

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

55

 

 

 

b

PROPIEDADES FORMALES DE LA BINOMIAL

59

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

LA DISTRIBUCION DE POISSON

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

PROPIEDADES DE LA FUNCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

65

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

EJERCICIOS RESUELTOS  DE LAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD  DISCRETA USANDO EL EXCELL

67

 

 

 

 

 

 

 

VII

 

 

LA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

77

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LAS FUNCIONES DE DENSIDAD

77

 

 

2

 

LA CURVA NORMAL

70

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

LA NORMALIZACION ESTANDAR DE UNA VARIABLE

81

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

EJERCICIOS   SOBRE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA

83

 

 

4

 

EJERCICIOS  RESUELTOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

92

 

 

 

 

 

 

 

VIII

 

 

FUNCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS CON MATEMATICA SUPERIOR

103

 

 

1

 

LA DISTRIBUCION NORMAL O GAUSSIANA

103

 

 

2

 

APROXIMACION A LA NORMAL POR LA LEY BINOMIAL

109

 

 

 

 

 

 

 

IX

 

 

OTRAS FUNCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

116

 

 

1

 

LA  FUNCION DE PROBABILIDAD   χ2   CHI CUADRADA

116

 

 

2

 

LA DISTRIBUCION  T   STUDENT

120

 

 

3

 

LA FUNCION DE PROBABILIDAD  F  DE SNEDECOR

124

 

 

4

 

LA FUNCION DE PROBABILIDAD  EXPONENCIAL

117

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

OTRAS FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCION ACUMULATIVA

132

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

BIBLIOGRAFIA

136

 

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Autor Jose Salomon Perdomo

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