LIBROS DE MATEMATICA DEL CIMES-IICES

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MATEMATICA DE SEGUNDO DE BACHILLERATO. Version2

A                                                  INTRODUCCION

El objetivo general de estos temas de matemática es proporcionar a los estudiantes de educación media del segundo año de bachillerato y carreras técnicas  diversificadas  de un material educativo que facilite el proceso de enseñanza aprendizaje con el apoyo de programas matemáticos computarizados y que además reúna los requisitos temáticos del Ministerio de Educación Publica.  Se pretende complementar  los conocimientos  algebraicos de los participantes  mediante el uso de programas matemáticos como el “EQUATION GRAPHER” y el MathCad, mismos que se pueden adquirir  vía  internet (ver figuras respectivamente).

 Los participantes pueden realizar cualquier gráfico de  funciones,  una vez que el Lector escribe la relación funcional, marca la tecla EXE y el gráfico se genera, además calcula derivadas y áreas bajo la curva, y calcula rectas tangentes y normales.

 Los estudiantes revisarán los conceptos básicos de la matemática de Educación Media hacia la Educación Superior reforzando sus conocimientos con la aplicación de paquetes matemáticos computarizados de tal manera puedan operar y visualizar los conceptos elementales del álgebra de los números reales, el álgebra de funciones, el álgebra lineal, el álgebra del cálculo diferencial e integral; en los siete  volúmenes de matemática básica que el IICES  y  CIMES ha elaborado[1].      Sin embargo en la bibliografía se presentan textos complementarios con aplicaciones en  modelos de decisión  que pueden favorecer el fortalecimiento de la lógica inductiva y deductiva del  Lector.

 En el sentido antes descrito,  en la parte B  introducimos los ángulos y las funciones trigonométricas de la geometría plana y analítica  continuando con las funciones uno a uno y las funciones trigonométricas inversas,  identidades trigonometrías y las leyes del seno y del coseno en la solución de triángulos rectángulos, de las cuales se presentan ejercicios resueltos y propuestos.   En la parte C cubrimos los números complejos y sus propiedades con sus representaciones trigonométricas polares  y  cartesianas

  En la parte  D  estudiamos  la distancia entre dos puntos, las relaciones lineales  y ángulos generados por tales líneas rectas.   Se cubre el análisis de rectas paralelas y perpendiculares con sus respectivos ángulos.   Y con la intensión  de  analizar las formas cuadráticas y conicas cubrimos la solución de problemas con radicales.    De esta manera  en la parte  E   cubrimos  las relaciones  cónicas entre ellos  la circunferencia y las funciones circulares,  la elipse, la hipérbola y la parábola  todas estas figuras  con ejercicios resueltos  y propuestos.  

 En la parte  F   estudiamos  los elementos básicos del cálculo diferencial  iniciando con los límites de funciones y sus diversos teoremas con  ejercicios resueltos y propuestos.   En la parte  G    cubrimos  una introducción del calculo diferencial comenzando con el cociente de incrementos,  seguidamente la derivada como un limite  con sus diversos teoremas sobre el calculo de derivadas  incluyendo la regla de la cadena  con derivadas  polinomiales, racionales y  algebraicas.    

   En la parte   H   cubrimos las derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas trigonométricas  con ejercicios resueltos y propuestos  con ampliaciones de la regla de la cadena.   En la parte  I   estudiamos  el calculo integral comenzando con el concepto de anti derivada y sus diversos teoremas con ejercicios resueltos y propuestos.   Se cubre la integración indefinida y sus teoremas y propiedades, con extensiones al calculo de aéreas por medio de la integral definida  en aplicaciones del teorema fundamental del calculo.   Todo lo anterior con aplicaciones de los programas matemáticos como el MathCad  y el equation grapher.   Se presentan en esta unidad  problemas resueltos y propuestos.

 En la parte  J  estudiamos las bases del algebra de matrices de orden 2*2  y de 3*3   con sus diversas propiedades  en sus operaciones   hasta cubrir los fundamentos de los espacios vectoriales.  En las operaciones del álgebra de matrices se utiliza el Excel  y  el MathCad.

 En la parte  K   se  estudia los sistemas de ecuaciones lineales en los métodos  de sustitución,   eliminación  y la regla de Kramer  para  sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y sistemas de ecuaciones lineales  con tres ecuaciones y tres variables.

 En la elaboración de este libro se ha utilizado  los textos del  IICES y del  CIMES   entre ellos  “ALGEBRA DE FUNCIONES  Y  LIMITES”,  “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL con análisis matemático”,  “ALGEBRA LINEAL Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES”,  “GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA Y ANALITICA”,  también se han utilizado los libros de primero de bachillerato y segundo de bachillerato para las aéreas sociales.   Y en la búsqueda de la integración curricular   se han utilizado los libros de matemáticos de séptimo grado,  octavo grado  y noveno grado.   Todos los libros anteriores del  IICES  y  del  CIMES y del autor  José Salomón  Perdomo  Mejía.     

 Agradezco a Dios Padre Nuestro Creador por haberme permitido escribir los 45 libros que conforman la pequeña biblioteca virtual del IICES  y  CIMES  para educación media y superior.

 

MATEMATICA PARA SEGUNDO DE BACHILLERATO  EN CIENCIAS Y LETRAS  Y  CARRERAS TECNICAS

 

 

 

 

TEMA

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCION

2

 

 

 

 

 

B

 

 

LOS ANGULOS Y  LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

5

 

 

 

 

 

 

I

 

ANGULOS

 

 

II

 

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES

7

 

III

 

COFUNCIONES

9

 

IV

 

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

10

 

V

 

FUNCIONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

12

 

VI

 

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS

14

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS FUNCIONES UNO A UNO

14

 

 

2

LAS FUNCIONES INVERSAS

15

 

 

3

LA FUNCION SENO 

18

 

 

4

LA FUNCION INVERSA DEL SENO

19

 

 

5

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES  RESPECTO AL SENO.

20

 

 

6

LA FUNCION COSENO 

22

 

 

7

LA FUNCION INVERSA DEL COSENO

22

 

 

8

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES  RESPECTO AL COSENO.

24

 

 

9

LA FUNCION TANGENTE

24

 

 

10

LA FUNCION INVERSA DE LA TANGENTE

25

 

 

11

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VII

 

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE ENROLLAMIENTO

29

 

 

 

 

 

 

 

1

LEY DE LOS  SENOS

29

 

 

2

LEY DE LOS  COSENOS

29

 

 

3

OTRAS    RELACIONES  TRIGONOMÉTRICAS

30

 

 

 

 

 

 

VIII

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE TRIANGULOS

31

 

IX

 

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA LEY DEL COSENO

42

 

X

 

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA LEY DEL SENO

50

 

XI

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

LOS NUMEROS COMPLEJOS EN EL PLANO CARTESIANO

56

 

 

 

 

 

 

I

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

56

 

II

 

OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA CARTESIANA

57

 

III

 

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS

60

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDAD DE CERRADURA

60

 

 

2

PROPIEDAD  COMMUTATIVA

60

 

 

3

EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA

61

 

 

4

EXISTENCIA DEL SIMETRICO ADITIVO EN LOS COMPLEJOS.

61

 

 

5

LA PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS RESPECTO A LA ADICION.

62

 

 

 

 

 

 

IV

 

MULTIPLICACION DE UN NUMERO REAL POR UN NUMERO COMPLEJO

63

 

V

 

LA RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS, EJERCICIOS RESUELTOS Y  PROPUESTOS

63

 

VI

 

FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICAS DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

65

 

VII

 

EJERCICIOS RESUELTOS

66

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

DISTANCIA, RELACIONES LINEALES  Y  ANGULOS 

75

 

 

 

 

 

 

I

 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

75

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS

77

 

 

 

 

 

 

II

 

LAS RELACIONES  Y   FUNCIONES LINEALES :FORMA ESTANDAR

80

 

 

 

 

 

 

 

1

LA ECUACION LINEAL  FORMA PENDIENTE INTERCEPTO Y FORMA PENDIENTE PUNTO.

83

 

 

2

OTROS PROBLEMAS  SOBRE LÍNEAS RECTAS CON SUS RESPUESTAS.

88

 

 

 

 

 

 

III

 

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

89

 

IV

 

INCLINACIÓN  Y  PENDIENTE DE UNA RECTA

92

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

93

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

99

 

 

 

 

 

 

V

 

ANGULOS Y RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

100

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

100

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

104

 

 

 

 

 

 

VI

 

ECUACIONES CONTENIENDO RADICALES

104

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

LAS  RELACIONES CONICAS

111

 

 

 

 

 

 

I

 

LA CIRCUNFERENCIA

114

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS FUNCIONES SEMICIRCULARES

115

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

118

 

 

 

 

 

 

II

 

LA   ELIPSE Y EJERCICIOS RESUELTOS 

122

 

III

 

LA HIPERBOLA  CON  EJEMPLOS

132

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

138

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA PARABOLA  Y EJEMPLOS

142

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

144

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

148

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

EL  CALCULO DE LIMITES

149

 

 

 

 

 

 

I

 

LAS BASES DEL CÁLCULO

149

 

 

 

 

 

 

 

1

LIMITES  DE FUNCIONES

150

 

 

2

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE FUNCIONES

151

 

 

 

 

 

 

II

 

TEOREMAS SOBRE LIMITES CON  PROBLEMAS RESUELTOS

154

 

III

 

EL LÍMITE  UNILATERAL POR LA DERECHA

162

 

IV

 

EL LÍMITE  UNILATERAL POR LA  IZQUIERDA

163

 

V

 

TEOREMA 8

163

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES UNILATERALES

164

 

VII

 

LÍMITES DE UNA FUNCION EN   INFINITO

166

 

VIII

 

UN LIMITE FUNDAMENTAL  SOBRE  LA FUNCION SENO

167

 

IX

 

RESUMEN SOBRE LAS OPERACIONES CON LIMITES

168

 

X

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE  LÍMITES

171

 

XI

 

EJERCICIOS SOBRE LIMITES INFINITOS

193

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

LA   DERIVADA

194

 

 

 

 

 

 

I

 

CONCEPTOS  PRELIMINARES:  LA DIVISION DE LOS INCREMENTOS     Y    EJERCICIOS RESUELTOS

194

 

II

 

LA  DERIVADA  DE UNA FUNCION CON UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

198

 

III

 

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

202

 

IV

 

TEOREMAS SOBRE DERIVADAS CON  PROBLEMAS RESUELTOS

204

 

V

 

LA REGLA DE LA CADENA

210

 

VI

 

APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA

211

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS Y TRIGONOMETRICAS

214

 

 

 

 

 

 

I

 

DERIVADAS   DE   FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS Y TRIGONOMETRICAS

214

 

II

 

LA DERIVADA DE  LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE  e

215

 

III

 

LA REGLA DE LA CADENA EN DERIVADAS EXPONENCIALES

217

 

IV

 

LA FUNCION EXPONENCIAL    f(x) = k*er*X

217

 

V

 

LA DERIVADA DE LA  FUNCION  LOGARITMO  NATURAL

220

 

VI

 

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN.

222

 

VII

 

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

223

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

EL CALCULO INTEGRAL

227

 

 

 

 

 

 

I

 

LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

227

 

II

 

ANTIDERIVADAS

228

 

III

 

LA  INTEGRACION  INDEFINIDA

231

 

IV

 

INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE

233

 

V

 

INTEGRACION PARA FUNCIONES LOGARITMICAS

236

 

VI

 

INTEGRACION DE FUNCIONES EXPONENCIALES

238

 

VII

 

EJERCICIOS CON SUS RESPUESTAS.

240

 

VIII

 

FORMULAS DE INTEGRACION TRIGONOMETRICAS

241

 

IX

 

LA INTEGRAL DEFINIDA

242

 

X

 

PROPIEDADES DE LA  INTEGRAL DEFINIDA

243

 

XI

 

TEOREMA  DEL CALCULO Y EJERCICIOS RESUELTOS

244

 

XII

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE AREAS GRAFICAS  E INTEGRALES DEFINIDAS

247

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

EL ALGEBRA DE MATRICES

256

 

 

 

 

 

 

I

 

CONCEPTOS GENERALES

256

 

 

 

 

 

 

 

1

LA SUMA DE MATRICES DE DOS FILAS Y DOS COLUMNAS

259

 

 

2

LA PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA DE MATRICES DE 2*2

261

 

 

3

EL ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA

262

 

 

4

EL ELEMENTO SIMETRICO RESPECTO A LA SUMA DE MATRICES DE 2*2

263

 

 

5

LA PROPIEDAD COMUTATIVA DE LA SUMA DE MATRICES

263

 

 

 

 

 

 

II

 

PROPIEDADES  DEL PRODUCTO DE UN NUMERO POR UNA MATRIZ

265

 

III

 

LA SUMA DE MATRICES EN  HOJAS ELECTRONICAS

268

 

IV

 

DEFINICION  DE  LA   MULTIPLICACION DE MATRICES 

269

 

V

 

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL

270

 

VI

 

DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES

272

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDAD ASOCIATIVA        (A*B)*C=A*(B*C)             

273

 

 

2

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION  RESPECTO A LA SUMA        (POR LA  IZQUIERDA)       A*(B+C)=A*B+A*C        

274

 

 

3

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION  RESPECTO A LA SUMA   (POR LA DERECHA)     (B+C)*A=B*A+C*A       

275

 

 

4

EXISTENCIA DE LA MATRIZ IDENTIDAD    A*I = I*A = A              

276

 

 

5

ASOCIATIVIDAD RESPECTO AL ESCALAR  c.

       c*(A*B) = A*(c*B)=(c*A)*B      

277

 

 

 

 

 

 

VII

 

EJERCICIOS  DE  EVALUACION      

277

 

VIII

 

EJERCICIOS  RESUELTOS

278

 

IX

 

LAS MATRICES DE ORDEN 3*3 

280

 

 

 

 

 

 

 

1

LA SUMA DE MATRICES DE TRES  FILAS Y  TRES  COLUMNAS    SUS PROPIEDADES

280

 

 

2

PROPIEDADES  DEL PRODUCTO DE UN NUMERO POR UNA MATRIZ

282

 

 

3

LAS  PROPIEDADES  DE  LA  MULTIPLICACION  DE  MATRICES   3*3

283

 

 

4

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL

284

 

 

 

 

 

 

X

 

EJERCICIOS  RESUELTOS SOBRE ALGEBRA DE MATRICES

285

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

LOS  SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

291

 

 

 

 

 

 

I

 

UN  ENFOQUE INTUITIVO DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

291

 

II

 

METODOS DE SOLUCION   DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

296

 

 

 

 

 

 

 

1

METODO DE SUSTITUCION

296

 

 

2

METODO DE IGUALACION

297

 

 

3

LA  REGLA  DE  KRAMER  EN DOS VARIABLES

300

 

 

4

LA REGLA DE KRAMER  PARA  SISTEMAS DE TRES VARIABLES Y TRES ECUACIONES

301

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

BIBLIOGRAFIA

304

 

 

[1]  Antes hemos escrito “MATEMATICA DE SEPTIMO, MATEMATICA DE OCTAVO, MATEMATICA DE NOVENO GRADO Y DOS VERSIONES DE MATEMATICA DE PRIMERO Y SEGUNDO DE BACHILLERATO” con los requerimientos del Ministerio de Educación Publica.  Las dos nuevas ediciones de la matemática de Bachillerato son de nuevos diseños curriculares de los institutos de Educacion Media con la asesoria del Ministerio de Educación, esto es, dos libros de matemática de primero de  bachillerato y dos libros de matemática para segundo de bachillerato .     Consultar  el CD que contiene 47 libros para  educación media y superior.  libros  de matemática aplicada del IICES  y del  CIMES.

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MATEMATICA DE SEGUNDO DE BACHILLERATO. Version1

A   INTRODUCCIÓN

 Después de que hemos escrito los libros de matemática del séptimo, octavo y noveno  grado  y primero de Bachillerato,  y  considerando al estudiante egresado de tales programas de estudio, nos encontramos con     diseños curriculares  resultantes de la experiencia de los institutos de educación privada para la educación media.   Tales diseños curriculares de matemática surgen de la asesoría del Ministerio de Educación e  induce a creer  que es necesario reforzar y  repasar los conceptos  de  polinomios para el estudio del Calculo diferencial e integral.

 El interés de repasar el algebra y factorización de polinomios es con la intensión de inducir  la matemática hacia niveles mas avanzados del calculo, en donde la factorización es una interesante herramienta para la simplificación y extensión del análisis matemático para las carreras de diversificado y superior.   Por esta razón en este quinto  libro de matemática para bachillerato II[1]   se vuelven a repasar tales conceptos  que al interrelacionarlos con la geometría y trigonometría plana y analítica que  junto al  algebra lineal  con  la estadística y probabilidad genera una matemática integral lista para aplicaciones a la física, química, biología, economía  y ciencias sociales. 

 De la manera anterior  en la parte B   estudiamos los productos notables y sus aplicaciones  en la simplificación de  problemas.   En la parte  C  analizamos  y resolvemos problemas de numeración polinomiales  y  los ceros de un polinomio con sus aplicaciones algebraicas.   En la parte  D  cubrimos  las ecuaciones racionales algebraicas  y sus operaciones de suma, resta, multiplicación y división   con las técnicas de simplificación que generan  los productos notables.   Seguidamente alcanzamos a estudiar  la división sintética  como recurso para encontrar ceros racionales de polinomios  y  sus factores,   siendo la división sintética  una importante herramienta de factorización generalizada de polinomios dentro de los números racionales.   El modelo de la división sintética se respalda con el teorema del residuo y del factor  respaldado por el teorema de Descartes.

 En la parte  E  nos introducimos al  Sistema cartesiano  hacia las líneas rectas con sus complejidades  y  las relaciones cuadráticas.   De esta manera definimos el plano cartesiano,  los puntos en el plano  y el concepto de distancia  con la aplicación del teorema de Pitágoras  nos permite  cubrir las extensiones  hacia la geometría  analítica  con elementos de la geometría plana.     Del concepto de distancia nos permite formalizar  la ecuación de la línea recta  y sus extensiones a las rectas paralelas y perpendiculares, el ángulo entre dos líneas rectas,  el punto medio y baricentro de triángulos  con aplicaciones del cálculo del área de un polígono en función de sus vértices.     Respecto a las relaciones  cuadráticas  hacemos una introducción a las funciones, y el  dominio y rango  de tales relaciones funcionales.   De la manera anterior después de completar los estudios lineales de la geometría analítica   nos introducimos a las funciones de segundo grado y sus propiedades  de desplazamiento, cubrimos el vértice de la parábola y sus gráficos con los ceros de las funciones polinomiales.

 En la parte  F  estudiamos las formas cónicas  comenzando  con el estudio del circulo   y  funciones semicirculares,   el estudio y análisis de la elipse con sus aplicaciones de las leyes de Kepler.   Lo anterior con problemas resueltos  y propuestos.   Seguidamente estudiamos  la hipérbola y la parábola   y sus propiedades.

 En la parte  G   cubrimos nuevamente los ángulos desde la perspectiva de la geometría y trigonometría plana  hacia la geometría  y trigonometría analítica, en este sentido estudiamos las funciones de enrollamiento  que generan a las funciones trigonométricas y sus inversas, indispensables para el calculo de ángulos entre líneas rectas  y resolución de  problemas de  triángulos, cuadriláteros y polígonos en general.    En las propiedades de las funciones trigonométricas estudiamos la ley del seno y coseno reforzado con diversos problemas resueltos sobre triángulos y demás polígonos combinadas con figuras  cónicas incluyendo el cálculo de aéreas y volúmenes  

 En la parte  H    nos introducimos  al concepto de  espacio vectorial desde la perspectiva de las matrices de orden n*m   y    sus operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar.  Cubrimos  las matrices de una columna  en  general y en particular para  matrices  y   de  R2  y  R3  en donde cubrimos  el concepto de norma y distancia  de vectores  además de analizar  y resolver problemas generados por el producto punto e interior euclidiano en el calculo de ángulos y de manera breve estudiamos las bases canónicas  para generar a los espacios vectoriales de    R2  y  R3 .

 En la parte  I   cubrimos  la solución de sistemas de ecuaciones lineales  en los métodos de sustitución e igualación en dos variables  con dos ecuaciones en su extensión a tres variables  con tres ecuaciones en su extensión de las técnicas de matrices inversas en la solución problemas  que generan  las ecuaciones lineales. 

 Seguimos con los sistemas de inecuaciones lineales  con aplicaciones de la programación lineal  en lo relacionado al primal y el dual  en situaciones económicas y productivas.      Agradezco a Dios Padre Nuestro Creador el haberme dado la oportunidad de escribir  los  52  libros de educación media y  superior  con la intensión de colaborar  y reforzar el modelo de enseñanza aprendizaje  hacia la modernización del sistema educativo dentro de la matemática aplicada.

 

 

 

 

TEMA

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

B

 

 

MÉTODOS DE LA  FACTORIZACION POLINOMIAL

3

 

 

 

 

 

 

I

 

LA FACTORIZACIÓN   DE  UN POLINOMIO DE LA FORMA

                                 P(x) =  x2 +  (b0 +  a0)*x + a0*b0

3

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELT OS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

5

 

 

 

 

 

 

II

 

EL     TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

13

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS   Y EJERCICIOS PROPUESTOS

16

 

 

 

 

 

 

III

 

FACTORIZACION POR COMPLETACION DEL TRINOMIO

                              CUADRADO PERFECTO

19

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS   Y EJERCICIOS PROPUESTOS

20

 

 

 

 

 

 

IV

 

FACTOR COMÚN  POR  AGRUPACION (PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION RESPECTO A LA SUMA)

23

 

 

 

 

 

 

 

1.

EJERCICIOS RESUELTOS   Y EJERCICIOS PROPUESTOS

25

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS  Y EJERCICIOS PROPUESTOS (2)

28

 

 

 

 

 

 

V

 

FACTORIZACION  POR DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

31

 

 

 

 

 

 

 

1

PROCEDIMIENTO Y PROBLEMAS RESUELTOS

31

 

 

2

 PROBLEMAS RESUELTOS  Y  PROBLEMAS PROPUESTOS

33

 

 

 

 

 

 

VI

 

FACTORIZACION DEL BINOMIO AL  CUBO

37

 

 

 

 

 

 

 

1

PROCEDIMIENTO Y EJEMPLOS

38

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

39

 

 

 

 

 

 

VII

 

FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS

42

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

43

 

 

 

 

 

 

VIII

 

AUTOEVALUACIÓN

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

EL VALOR NUMERICO  Y  LOS CEROS DE UN POLINOMIO

47

 

 

 

 

 

 

I

 

EL VALOR NUMERICO DE UN  POLINOMIO

47

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

48

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

51

 

 

 

 

 

 

II

 

LOS  CEROS DE UN  POLINOMIO Y EJERCICIOS RESUELTOS

52

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

57

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

59

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

FACTORIZACION Y DIVISIBILIDAD:  ECUACIONES RACIONALES

61

 

 

 

 

 

 

I

 

ECUACIONES RACIONALES NOTABLES Y SIMPLIFICACION

61

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS  Y  PROBLEMAS PROPUESTOS

61

 

 

2

COCIENTE DE LA SUMA O RESTA DE CUBOS ENTRE LA SUMA O RESTA DE SUS BASES.    PROBLEMAS RESUELTOS

62

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

64

 

 

 

 

 

 

II

 

OTROS EJEMPLOS RESUELTOS POR  SIMPLIFICACION

65

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

66

 

 

 

 

 

 

III

 

MULTIPLICACION DE ECUACIONES RACIONALES Y SIMPLIFICACION

67

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

68

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA DIVISION DE ECUACIONES RACIONALES  Y PROBLEMAS RESUELTOS

69

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

70

 

 

 

 

 

 

V

 

AUTOREVALUACION

71

 

VI

 

INTRODUCCION AL ALGORITMO DE LA DIVISION

72

 

VII

 

EL ALGORITMO DE LA DIVISION

74

 

 

 

 

 

 

 

1

EL MODELO DE BARNETT

74

 

 

2

DIVISION DE UN MULTINOMIO ENTRE UN TRINOMIO

78

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

81

 

 

 

 

 

 

VIII

 

AUTOEVALUACION

81

 

IX

 

LA DIVISION SINTETICA  Y LOS CEROS DE UN POLINOMIO

84

 

 

 

 

 

 

 

1

LA DIVISION SINTETICA:  PROCEDIMIENTO Y PROBLEMAS RESUELTOS

84

 

 

2

TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR

86

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

87

 

 

 

 

 

 

X

 

TEOREMAS ACERCA DE LA FACTORIZACION DE LOS POLINOMIOS Y APLICACIONES

88

 

 

 

 

 

 

 

1

TEOREMA DE DESCARTES

88

 

 

2

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE EL TEOREMA DE DESCARTES

91

 

 

3

TEOREMA DE LOS CEROS COMPLEJOS DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALES

92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

INTRODUCCION A LAS RELACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

95

 

 

 

 

 

 

I

 

EL PRODUCTO CARTESIANO

95

 

II

 

LAS  COORDENADAS CARTESIANAS

96

 

III

 

LAS RELACIONES Y LAS FUNCIONES   LINEALES Y CUADRATICAS.

97

 

 

 

 

 

 

 

1

RELACIONES  Y  FUNCIONES:  PROBLEMAS RESUELTOS

97

 

 

2

DEFINICIÓN DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION, CON EJEMPLOS

100

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

102

 

 

 

 

 

 

IV

 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:   PROBLEMAS RESUELTOS

103

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS PROPUESTOS

106

 

 

 

 

 

 

V

 

LAS RELACIONES  Y   FUNCIONES LINEALES FORMA ESTANDAR

107

 

 

 

 

 

 

 

1

LA ECUACION LINEAL  FORMA PENDIENTE INTERCEPTO Y FORMA PENDIENTE PUNTO.

111

 

 

2

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

116

 

 

 

 

 

 

VI

 

PUNTO DE DIVISION

119

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

122

 

 

2

PROBLEMAS RESUELTOS  VARIOS

131

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

137

 

 

 

 

 

 

VII

 

INCLINACIÓN  Y  PENDIENTE DE UNA RECTA

140

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

141

 

 

 

 

 

 

VIII

 

ANGULOS Y RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

148

 

 

 

 

 

 

IX

 

BARICENTRO

152

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

154

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

159

 

 

 

 

 

 

X

 

AREA DE UN POLÍGONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES

160

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

161

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

166

 

 

 

 

 

 

XI

 

LAS FUNCIONES  CUADRATICAS Y EJEMPLOS  GRAFICOS

 

167

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS FUNCIONES DE GRADO 2  Y GRAFICOS

167

 

 

2

EL EJE DE SIMETRIA   Y   VERTICE DE LA FUNCION CUADRATICA

177

 

 

3

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE GRAFICOS CUADRATICOS

179

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

LAS  RELACIONES CONICAS

189

 

 

 

 

 

 

I

 

LA CIRCUNFERENCIA

191

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS FUNCIONES SEMICIRCULARES

192

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

195

 

 

3

ECUACIONES CONTENIENDO RADICALES:  PROBLEMAS RESUELTOS

199

 

 

 

 

 

 

II

 

LA   ELIPSE Y EJERCICIOS RESUELTOS 

207

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

213

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

214

 

 

3

LAS LEYES DE KEPLER

216

 

 

 

 

 

 

III

 

LA HIPERBOLA  CON  EJEMPLOS

218

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS SOBRE LA HIPERBOLA

224

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA PARABOLA  CON   EJEMPLOS

228

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

231

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

234

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

LOS ANGULOS Y  LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

235

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y  ÁNGULOS

236

 

II

 

FUNCIONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

239

 

III

 

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES

240

 

IV

 

COFUNCIONES

241

 

V

 

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

242

 

VI

 

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS

243

 

 

 

 

 

 

 

1

LA FUNCION SENO 

243

 

 

2

LA FUNCION INVERSA DEL SENO

244

 

 

3

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

246

 

 

4

LA FUNCION COSENO

247

 

 

5

LA FUNCION INVERSA DEL COSENO

248

 

 

6

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

249

 

 

7

LA FUNCION TANGENTE

250

 

 

 8

LA FUNCION INVERSA DE LA TANGENTE

251

 

 

9

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

252

 

 

10

EJERCICIOS DE EVALUACION

254

 

 

 

 

 

 

VII

 

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE ENROLLAMIENTO

255

 

 

 

 

 

 

 

1

LEY DE LOS  SENOS

256

 

 

2

LEY DE LOS  COSENOS

257

 

 

3

PROPIEDADES DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS

257

 

 

 

 

 

 

VIII

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE TRIANGULOS    

259

 

IX

 

EJERCICIOS RESUELTOS  Y EJERCICIOS PROPUESTOS

259

 

X

 

EJERCICIOS PROPUESTOS:   CALCULE ANGULOS DEL TRIANGULO  Y CALCULE SUS ANGULOS.

262

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS  Y EJERCICIOS PROPUESTOS

266

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

282

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XI

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE RESOLUCION DE TRIÁNGULOS    RECTÁNGULOS

283

 

XII

 

CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES

289

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

ELEMENTOS DEL ALGEBRA DE MATRICES  Y  SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

292

 

 

 

 

 

 

I

 

EL ALGEBRA DE LAS  MATRICES  COLUMNA     m*1

292

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS Y PROPUESTOS SOBRE LAS OPERACIONES  EN  R2

294

 

 

2

VECTORES IGUALES

295

 

 

3

EL OPUESTO DE UN VECTOR  Y EJERCICIOS RESUELTOS

295

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

298

 

 

5

DIFERENCIA DE VECTORES  Y EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

299

 

 

 

 

 

 

 

6

MAGNITUD DE UN VECTOR EN UNA BASE CANÓNICA

305

 

 

 

 

 

 

II

 

NORMA Y DISTANCIA DE UN VECTOR

306

 

 

 

 

 

 

 

1

NORMA DE UN VECTOR

306

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS  Y  EJERCICIOS PROPUESTOS 

307

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS  SOBRE  LA  DISTANCIA  Y  NORMA DE UN VECTOR EN R2

309

 

 

 

 

 

 

III

 

PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO INTERIOR EUCLIDIANO

310

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS   Y EJERCICIOS PROPUESTOS

310

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

316

 

 

 

 

 

 

IV

 

PROBLEMAS RESUELTOS   Y  AMPLIACIONES EN LAS OPERACIONES  ENTRE VECTORES.

317

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ADICIÓN DE VECTORES EN R3

319

 

 

2

SUSTRACCIÓN DE VECTORES EN R3   Y   EJERCICIOS RESUELTOS

322

 

 

 

 

 

 

V

 

PRODUCTO DE UN VECTOR EN R3 POR UN ESCALAR: 

EJERCICIOS RESUELTOS

325

 

VI

 

BASE CANÓNICA EN R3: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

328

 

VII

 

DISTANCIA  Y NORMA DE VECTORES EN R3                   EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

331

 

VIII

 

NORMA DE UN VECTOR EN R3: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

335

 

IX

 

PRODUCTO  ESCALAR  EN R3: EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS.

338

 

X

 

PRODUCTO INTERIOR EUCLIDIANO EN R3                      EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS.

342

 

XI

 

AUTOEVALUACIÓN

347

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

LOS  SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

349

 

 

 

 

 

 

I

 

UN  ENFOQUE INTUITIVO DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

349

 

II

 

LAS OPERACIONES ELEMENTALES

354

 

III

 

METODOS DE SOLUCION   DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

355

 

 

 

 

 

 

 

1

METODO DE SUSTITUCION

355

 

 

2

METODO DE IGUALACION

357

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA  SOLUCION  PARA LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES  POR MEDIO DE MATRICES  INVERSAS

358

 

V

 

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES APLICANDO   LA MATRIZ INVERSA

363

 

VI

 

 PROBLEMAS RESUELTOS  DE APLICACIONES A LAS CIENCIAS ECONOMICAS.

366

 

VII

 

REPASO SOBRE LAS DESIGUALDADES EN LA RECTA NUMERICA

371

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS

371

 

 

2

MAS SOBRE  SISTEMAS DE DESIGUALDADES 

374

 

 

 

 

 

 

VIII

 

DESIGUALDADES EN DOS VARIABLES:   PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS.

381

 

IX

 

EJEMPLOS SOBRE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES:  EL PRIMAL Y EL DUAL.

392

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS EJEMPLOS DE LA  PROGRAMACION LINEAL APLICADA RESOLVERLOS MEDIANTE EL LINDO U OTRO SOFTWARE DE OPTIMIZACION.

408

 

 

2

COMENTARIOS ADICIONALES SOBRE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

411

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

BIBLIOGRAFIA

412

 

 

.

 

[1] Para el estudio del cálculo diferencial e integral el profesor puede utilizar la segunda edición del II de Bachillerato  editado el 20 de agosto del 2009.   El profesor también  puede consultar el texto  "CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL” con análisis matemático.   Libro del autor José Salomón Perdomo Mejía.    Consulte el CD  “HONDURAS: RESTRICCION EXTERNA, MERCADOS FINANCIEROS Y EMPLEO”.  El libro contiene 52 libros de educación media y superior incluyendo cinco diseños curriculares; libros de matemática aplicada a las ciencias exactas y sociales.   Contiene  dos libros de primero de bachillerato y dos libros para segundo de Bachillerato.    

 

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MATEMATICA DE PRIMERO DE BACHILLERATO. Version2

INTRODUCCION

 Después de que hemos escrito los libros de matemática del séptimo, octavo y noveno  grado  de acuerdo a los diseños curriculares del 2007  del Ministerio de Educación Publica  y,  considerando la experiencia de los institutos de educación media en el desarrollo de sus programas educativos  de los Bachilleratos en Ciencias y Letras, Administración de Empresas, Mercadotecnia, Computación y otras carreras diversificadas técnicas,  hemos decidido  escribir  los  libros de matemática actualizados que se apeguen a tales requerimientos de carreras educativas comentadas de Educación Media.     Tal iniciativa surge de los aportes en diseños curriculares de libros de matemática para  bachillerato escritos por el Licenciado Horacio Reyes  en el  siglo pasado,  incluyendo las pautas escritas por profesores de  varios Institutos de Educación Privada. En tales actualizaciones se requieren el apoyo de software de matemática como el Equation Grapher y el MathCad, que permiten  facilidades de aprendizaje en la matemática aplicada hacia el estudiante. 

De la manera anterior  en la parte B   estudiamos el plano cartesiano,  las parejas ordenadas con una introducción a las funciones y relaciones,  seguido de los vectores del espacio vectorial R2.  En esta parte se analiza las propiedades de las operaciones de los vectores en  R2.

 Seguidamente en la parte C  estudiamos el conjunto de los números complejos con las propiedades de sus operaciones: suma, resta, multiplicación y división, con su representación cartesiana que muestra su igual estructura operativa grafica con R2.  Tanto la parte  B  y la parte  C   se encuentran enriquecidas  con múltiples ejercicios resueltos  y ejercicios propuestos.

 En la parte  D  estudiamos los valores numéricos de los polinomios  incluyendo los ceros o raíces polinomiales  con la deducción de la formula cuadrática, todo ello con ejercicios resueltos y propuestos.   Esta parte es con la intención de analizar posteriormente los ceros polinomiales  en su forma grafica en el plano cartesiano.   En esta parte damos un repaso de los sistemas de inecuaciones en una variable con la intención de cubrir posteriormente las inecuaciones lineales y no lineales en  el plano cartesiano  R2.

 En la parte  E  estudiamos las funciones polinomiales comenzando con el análisis lineal grafico de las funciones lineales y los sistemas de inecuaciones lineales.   Seguidamente estudiamos las funciones cuadráticas y sus desplazamientos incluyendo los ceros o raíces en su forma grafica y operativa.   Luego  estudiamos las funciones polinomiales de tercer grado con sus respectivos desplazamientos.   Seguidamente estudiamos las operaciones de las funciones polinomiales, las raíces y  sus respectivos gráficos,  para luego estudiar las funciones pares e impares, el crecimiento y decrecimiento de funciones, la composicion de funciones  y  los incrementos de la variable dependiente  “y”   respecto a la variable dependiente “x”   .   Todo lo anterior con ejercicios resueltos  y ejercicios propuestos.

 En la parte  F  estudiamos y analizamos las funciones racionales con ejercicios resueltos y propuestos, en la parte G estudiamos y analizamos las funciones especiales entre ellas el valor absoluto.  Es de observar que  todos los tipos de funciones que estudiamos en este libro  se aplican con el equation grapher.   En la parte H estudiamos y analizamos  las funciones algebraicas con sus desplazamientos y con ejercicios resueltos y propuestos.   En la parte  I  estudiamos y analizamos con el software comentado los desplazamientos de las funciones exponenciales con sus respectivos problemas resueltos y propuestos, nos extendemos a las aplicaciones de modelos de crecimiento poblacional  y cubrimos la campana de Gauss o curva normal  muy indispensable para la estadística y las funciones de probabilidad[1].   Estudiamos las funciones exponenciales de base 2, de base 10.   Presentamos en todo el libro además las evaluaciones respectivas.

 En la parte  J  estudiamos y analizamos las funciones uno a uno  que son básicas para el estudio de las funciones inversas, de esta manera cubrimos las funciones logarítmicas de base  e  y de base 10 con sus respectivas propiedades.

 En la parte K  presentamos  un enfoque axiomático de de la geometría plana en lo referente a sus términos primitivos: el punto, la recta y los planos.  Para luego estudiar las propiedades de los segmentos y los  ángulos y sus propiedades.   Se incluyen ejercicios resueltos y propuestos con sus respectivas respuestas.    Es  importante recordar que además de este libro hemos escrito el de segundo de bachillerato.  Y además dos versiones diferentes de matemática para primero y segundo de bachillerato  para carreras educativas de las ciencias sociales.       

 Agradezco a Dios Padre Nuestro Creador el haberme dado la oportunidad de escribir  los  45  libros de educación media y  superior  con la intensión de colaborar  y reforzar el modelo de enseñanza aprendizaje  hacia la modernización del sistema educativo.

MATEMATICA PARA PRIMERO  DE BACHILLERATO VOLUMEN II

 

 

 

 

TEMA

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

EL PRODUCTO CARTESIANO

3

 

 

 

 

 

 

I

 

LA  IGUALDAD DE PAREJAS ORDENADAS

3

 

II

 

LA SUMA DE PAREJAS ORDENADAS

5

 

III

 

LAS  COORDENADAS CARTESIANAS

5

 

IV

 

RELACIONES  Y  FUNCIONES CON PROBLEMAS RESUELTOS

7

 

V

 

DEFINICIÓN DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION, CON EJEMPLOS

11

 

VI

 

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE RELACIONES Y FUNCIONES

15

 

VII

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

18

 

VIII

 

VECTORES EN EL ESPACIO VECTORIAL  R2

20

 

 

 

 

 

 

 

1

SUMA DE VECTORES

20

 

 

2

VECTORES IGUALES

22

 

 

3

EL OPUESTO DE UN VECTOR  Y EJERCICIOS RESUELTOS

23

 

 

4

PRODUCTO DE UN VECTOR EN R2       POR UN ESCALAR

25

 

 

 

 

 

 

IX

 

EJERCICIOS RESUELTOS

26

 

X

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

28

 

XI

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

30

 

XII

 

EJERCICIOS RESUELTOS

32

 

XIII

 

EJERCICIOS  PROPUESTOS

34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

35

 

 

 

 

 

 

I

 

OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA CARTESIANA

35

 

 

 

 

 

 

 

1

ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:   PROPIEDADES Y EJERCICIOS

35

 

 

 

 

 

 

II

 

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS

39

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDAD DE CERRADURA

39

 

 

2

PROPIEDAD  COMMUTATIVA

39

 

 

3

EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA

40

 

 

4

EXISTENCIA DEL SIMETRICO ADITIVO EN LOS COMPLEJOS

40

 

 

5

LA PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS RESPECTO A LA ADICION

41

 

 

 

 

 

 

III

 

MULTIPLICACION DE UN NUMERO REAL POR UN NUMERO COMPLEJO

41

 

IV

 

LA RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS, EJERCICIOS RESUELTOS Y    PROPUESTOS

42

 

V

 

EJERCICIOS PROPUESTOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

44

 

VI

 

PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS

45

 

VII

 

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

46

 

VIII

 

LA DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS

50

 

IX

 

EJERCICIOS RESUELTOS

52

 

X

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

EL VALOR NUMERICO  Y  LOS CEROS DE UN POLINOMIO

55

 

 

 

 

 

 

I

 

EL VALOR NUMERICO DE UN  POLINOMIO

55

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

56

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

59

 

 

 

 

 

 

II

 

LOS  CEROS DE UN  POLINOMIO Y EJERCICIOS RESUELTOS

60

 

 

 

 

 

 

 

1

OTROS   EJERCICIOS RESUELTOS

65

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

67

 

 

 

 

 

 

III

 

LOS CEROS DE UN POLINOMIO DE GRADO 2  Y  DEDUCCION DE LA FORMULA CUADRATICA

68

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS 

71

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

76

 

 

 

 

 

 

IV

 

REPASO SOBRE LAS DESIGUALDADES EN LA RECTA NUMERICA

77

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS

77

 

 

2

MÁS SOBRE  SISTEMAS DE DESIGUALDADES 

81

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

89

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

LAS FUNCIONES POLINOMIALES

90

 

 

 

 

 

 

I

 

LAS FUNCIONES LINEALES    Y  LAS  DESIGUALDADES LINEALES

90

 

 

 

 

 

 

 

1

DESIGUALDADES EN DOS VARIABLES:     PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS.

94

 

 

 

 

 

 

II

 

LAS FUNCIONES DE GRADO 2:   OPERATORIA  Y GRAFICOS

102

 

 

 

 

 

 

 

1

LOS CEROS DE UN POLINOMIO DE SEGUNDO  GRADO

106

 

 

2

EL EJE DE SIMETRIA   Y   EL VERTICE DE LA FUNCION CUADRATICA

109

 

 

3

EJERCICIOS RESUELTOS   SOBRE  GRAFICOS CUADRATICOS Y DESIGUALDADES

110

 

 

 

 

 

 

III

 

LAS FUNCIONES DE TERCER GRADO:  OPERATORIA Y  GRAFICOS

119

 

IV

 

GRAFICOS POLINOMIALES  DE LAS OPERACIONES

123

 

 

 

 

 

 

 

1

SUMA, LA MULTIPLICACION   CON   GRAFICOS POLINOMIALES

127

 

 

 

 

 

 

V

 

LOS CEROS  DE  UN  POLINOMIO Y GRAFICOS CON EJERCICIOS DE  EVALUACION

134

 

VI

 

LAS FUNCIONES PARES E IMPARES :  PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

136

 

VII

 

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES.

140

 

VIII

 

LA COMPOSICION DE FUNCIONES  Y  EJERCICIOS RESUELTOS

141

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE COMPOSICION DE FUNCIONES

145

 

 

 

 

 

 

IX

 

COCIENTE DE INCREMENTOS Y PRO BLEMAS RESUELTOS

146

 

X

 

EJERCICIOS PROPUESTOS 

151

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

LAS FUNCIONES RACIONALES

152

 

 

 

 

 

 

I

 

EJERCICIOS RESUELTOS Y GRAFICOS

152

 

II

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

163

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

FUNCIONES  ESPECIALES

164

 

 

 

 

 

 

I

 

LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

164

 

II

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

168

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

LAS FUNCIONES  ALGEBRAICAS CON EJERCICIOS RESUELTOS

168

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

176

 

 

 

 

 

 

I

 

GENERALIDADES

176

 

 

 

 

 

 

 

1

LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE   2

 

176

 

 

2

LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE 10

183

 

 

3

LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE  e

186

 

 

4

LAS TRASLACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE    e

187

 

 

5

LA FUNCION EXPONENCIAL    f(x) = k*er*X

188

 

 

6

LA CURVA NORMAL  ESTANDAR    

190

 

 

 

 

 

 

II

 

EJERCICIOS DE EVALUACION DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

194

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

LAS FUNCIONES UNO A UNO     

195

 

 

 

 

 

 

I

 

GENERALIDADES

 

 

II

 

LAS FUNCIONES INVERSAS

196

 

III

 

LAS FUNCION LOGARITMO DE BASE  10

199

 

 

 

 

 

 

 

1

LOS DESPLAZAMIENTOS DE LA FUNCION LOGARITMO DE BASE 10

201

 

 

2

LAS PROPIEDADES DE LA FUNCION LOGARITMO DE BASE  10

202

 

 

 

 

 

 

IV

 

LAS FUNCION LOGARITMO DE BASE  e

203

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS PROPIEDADES DE LA FUNCION LOGARITMO DE BASE  e

206

 

 

 

 

 

 

V

 

  EJERCICIOS DE EVALUACIÓN DE LAS FUNCIONES INVERSAS

206

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

CONCEPTOS BASICOS  DE GEOMETRÍA  PLANA

207

 

 

 

 

 

 

I

 

TERMINOS PRIMITIVOS  Y  RELACIONES 

207

 

 

 

 

 

 

 

1

EL PUNTO

207

 

 

2

LA RECTA

207

 

 

3

EL PLANO

207

 

 

 

 

 

 

II

 

LA ESTRUCTURA LOGICA DE LA GEOMETRIA  

209

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPOSICION

209

 

 

2

AXIOMAS

209

 

 

3

TEOREMA

210

 

 

4

COROLARIO

210

 

 

 

 

 

 

III

 

LOS SEGMENTOS

211

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LOS SEGMENTOS

212

 

 

2

SEGMENTOS CONSECUTIVOS

214

 

 

3

LA SUMA DE SEGMENTOS Y SUS PROPIEDADES

214

 

 

4

MULTIPLICACION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

216

 

 

5

DIVISION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

217

 

 

 

 

 

 

IV

 

LOS  ANGULOS

220

 

 

 

 

 

 

 

1

LA MEDIDA DE ANGULOS

223

 

 

2

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

224

 

 

3

SEGMENTO Y ANGULO

224

 

 

4

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

226

 

 

5

PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS

227

 

 

6

LA  SUMA DE LOS ANGULOS  ES UNA LEY DE COMPOSICION INTERNA.

229

 

 

7

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS ANGULOS

229

 

 

8

LEY DE COMPOSICION INTERNA DE LA DIFERENCIA DE  ANGULOS

232

 

 

9

DIFERENCIA DE ANGULOS

233

 

 

10

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE ANGULOS

233

 

 

11

OTRAS DEFINICIONES Y TEOREMAS

236

 

 

 

 

 

 

V

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE ANGULOS, RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Y VARIANTES

242

 

VI

 

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

247

 

VII

 

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

249

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

BIBLIOGRAFIA

250

 

[1] Consultar  los libros de estadística y probabilidad,  muestreo y control de calidad  del IICES y del  CIMES del autor  José  Salomón  Perdomo  Mejía.

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MATEMATICA DE PRIMERO DE BACHILLERATO. Version1

El objetivo general de estos temas de matemática es proporcionar a los estudiantes de educación media del primer año de bachillerato un material educativo que facilite el proceso de enseñanza aprendizaje y que además reúna los requisitos temáticos del Ministerio de Educación Publica.

 Se pretende complementar  los conocimientos  algebraicos de los participantes  mediante el uso de programas matemáticos como el “EQUATION GRAPHER” y el MathCad, mismos que se pueden adquirir  vía  internet (ver figuras respectivamente).

 Los participantes pueden realizar cualquier gráfico de  funciones,  una vez que el Lector escribe la relación funcional, marca la tecla EXE y el gráfico se genera, además calcula derivadas y áreas bajo la curva, y calcula rectas tangentes y normales.

 Los estudiantes revisarán los conceptos básicos de la matemática de Educación Media hacia la Educación Superior reforzando sus conocimientos con la aplicación de paquetes matemáticos computarizados de tal manera puedan operar y visualizar los conceptos elementales del álgebra de los números reales, el álgebra de funciones, el álgebra lineal, el álgebra del cálculo diferencial e integral; en los tres volúmenes de matemática básica que el IICES  y  CIMES ha elaborado[1].      Sin embargo en la bibliografía se presentan textos complementarios con aplicaciones en  modelos de decisión  que pueden favorecer el fortalecimiento de la lógica inductiva y deductiva del  Lector.

 En el sentido antes descrito,  en la parte B  introducimos los conceptos de producto cartesiano,  relación y función.   En la parte C cubrimos las funciones polinomiales en sus operaciones de suma, multiplicación de un numero escalar respecto a los polinomios,  multiplicación de polinomios  funciones pares e impares,  las relaciones de incrementos en funciones, y la compocision de funciones.  En esta parte cubrimos las funciones lineales y cuadráticas con graficas y sus desplazamientos.     

 En la parte  CH  cubrimos las funciones racionales ,  en la parte  D  la función valor absoluto  y sus desplazamientos.   En la parte  E   estudiamos las funciones racionales.  En la parte  F  estudiamos las funciones exponenciales con sus desplazamientos.  

 En la parte  G  estudiamos  las funciones uno a uno que son la base para el estudio  de  lasa fuciones inversas entre ellas las funciones logarítmicas y sus desplazamientos y propiedades.    En la parte  H  estudiamos las funciones de enrrollamiento  que generan a las funciones trigonométricas, la ley de los senos y la ley de los cosenos con aplicaciones.   Todos los temas antes mencionados cubren graficos con el “EQUATION GRAPHER”.

 En la parte  I  estudiamos los sistemas de desigualdades  en los reales y en el plano cartesiano  de R2.   

 En la parte  J   Presentamos el algebra de matrices (operaciones entre matrices) aplicando hojas electrónicas y el MathCad que son programas de computación que facilitan el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática aplicada.   Se presenta el algebra de matrices y se generalizan conceptos de los espacios vectoriales y otras estructuras que conforman los grupos y anillos.   En esta parte se estudia la suma de matrices  y sus propiedades.  En la parte K estudiamos la multplicacion de matrices con sus propiedades cubriéndose lalas propiedades de la matriz  transpuesta. 

 En la parte  L  estudiamos la matriz inversa y sus propiedades algebraicas, cubriéndose la matriz adjunta y las matrices de cofactores.   En esta parte presentamos  diversos métodos para encontrar la inversa de una matriz, y sus propiedades  aplicando hojas electrónicas  y el software mathCad.    Una vez desarrolladas las propiedades y teoremas de las operaciones  entre matrices y otros espacios vectoriales en la parte M  estudiamos los métodos de solución de los sistemas de ecuaciones lineales con aplicaciones graficas en el MathCad.   Se desarrollan los diversos métodos para encontrar las matrices inversas ya sea mediante la adjunta y determinantes de matrices como los métodos de  Gauss y Gauss Jordan.      Aplicamos algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones lineales entre ellos el  de gauss, gauss jordan  y   kramer  se desarrollan los diversos métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales en las reglas diversas aplicando los métodos de Gauss y Gauss Jordan.   En las aplicaciones del algebra de matrices se realizan con el EXCELL y el MathCad con gráficos en tres dimensiones. 

En la parte  N   hacemos una introducción  de los números complejos y las propiedades de la suma y   su representación grafica en el plano cartesiano seguidamente estudiamos la multiplicación y propiedades de los números complejos.  Abordamos la división de números complejos y la resta de números complejos.   Seguidamente presentamos la forma polar o  cartesiana de los números complejos.   Todo lo anterior  con ejercicios resueltos y ejercicios propuestos.  

  Seguidamente en la parte   O   presentamos ejercicios resueltos y porpuestos sobre las diversas opraciones que se desarrollan  en  el espacio vectorial  R2,  la representación grafica de la suma yu resta de vectores,  el producto punto,  la distancia y norma de vectores  con ejercicios resueltos y propuestos.   Esta parte    lo hacemos de esta manera   para presentar lo parecido de las estructuras operatorias entre  las parejas ordenadas y la estructura opratoria de los números complejos.    Anteriormente en el estudio de los espacios vectoriales ya habíamos estudiado las propiedades de R2  y   R3  con las propiedades vectoriales de las matrices.    

 Agradezco a Dios Padre Nuestro Creador por haberme permitido escribir los 45 libros que conforman la pequeña biblioteca virtual del IICES  e  CIMES.

 

MATEMATICA   DE  PRIMERO DE   BACHILLERATO.  Version1

 

 

 

 

                                      TEMAS

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

B

 

 

EL PRODUCTO CARTESIANO

4

 

 

 

 

 

 

I

 

LA  IGUALDAD DE PAREJAS ORDENADAS

4

 

II

 

LA SUMA DE PAREJAS ORDENADAS

6

 

III

 

LAS  COORDENADAS CARTESIANAS

7

 

IV

 

RELACIONES  Y  FUNCIONES CON PROBLEMAS RESUELTOS

8

 

V

 

DEFINICIÓN DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION, CON EJEMPLOS

12

 

VI

 

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE RELACIONES Y FUNCIONES

16

 

VII

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

LAS FUNCIONES POLINOMIALES

21

 

 

 

 

 

 

I

 

LA  SUMA DE POLINOMIOS  

22

 

 

 

 

 

 

 

1

LA DEFINICIÓN DE POLINOMIO

22

 

 

2

GRADO DE UN POLINOMIO   

23

 

 

3

LA   IGUALDAD  DE  POLINOMIOS

24

 

 

4

EJEMPLOS Y EJERCICIOS  PROPUESTOS

24

 

 

5

SUMA DE POLINOMIOS

25

 

 

6

PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS

26

 

 

7

PROBLEMAS RESUELTOS

27

 

 

8

LA RESTA DE POLINOMIOS  Y  EJERCICIOS RESUELTOS.

34

 

 

 

 

 

 

II

 

EL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA FUNCION  POLINOMIAL

39

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN NÚMERO POR UNA FUNCION POLINOMIAL

40

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

43

 

 

 

 

 

 

III

 

LA MULTIPLICACION DE FUNCIONES  POLINOMIALES

44

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICIÓN FORMAL DEL PRODUCTO DE DOS  POLINOMIALES

46

 

 

2

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

46

 

 

3

EJERCICIOS  RESUELTOS

48

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

51

 

 

 

 

 

 

IV

 

LAS FUNCIONES LINEALES

54

 

V

 

LAS FUNCIONES DE GRADO 2  Y GRAFICOS

58

 

 

 

 

 

 

 

1

EL EJE DE SIMETRIA   Y   VERTICE DE LA FUNCION

                                     CUADRATICA

68

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS   SOBRE  GRAFICOS CUADRATICOS

69

 

 

 

 

 

 

VI

 

LAS FUNCIONES DE TERCER GRADO Y GRAFICOS

78

 

 

 

 

 

 

VII

 

LAS OPERACIONES Y GRAFICOS POLINOMIALES

84

 

 

 

 

 

 

 

 

SUMA, LA MULTIPLICACION Y GRAFICOS POLINOMIALES

87

 

 

 

 

 

 

VIII

 

LOS CEROS  DE  UN  POLINOMIO Y GRAFICOS CON EJERCICIOS DE   EVALUACION

95

 

IX

 

LAS FUNCIONES PARES E IMPARES :  PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

98

 

X

 

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE FUNCIONES

101

 

XI

 

LA COMPOSICION DE FUNCIONES

103

 

XII

 

COCIENTE DE INCREMENTOS

108

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CH

 

 

LAS FUNCIONES RACIONALES

113

 

 

 

 

 

 

I

 

EJERCICIOS RESUELTOS Y GRAFICOS

113

 

II

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

124

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

FUNCIONES  ESPECIALES

125

 

 

 

 

 

 

I

 

LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

125

 

II

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

128

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

LAS FUNCIONES  ALGEBRAICAS CON EJERCICIOS RESUELTOS

129

 

 

 

 

 

 

I

 

OTROS  EJERCICIOS RESUELTOS

133

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

138

 

 

 

 

 

 

I

 

GENERALIDADES

138

 

 

 

 

 

 

 

1

LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE   2

138

 

 

2

LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE 10

145

 

 

3

LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE  e

148

 

 

4

LA CURVA NORMAL  ESTANDAR    

152

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

LAS FUNCIONES UNO A UNO    

156

 

 

 

 

 

 

I

 

LAS FUNCIONES INVERSAS

158

 

II

 

LAS FUNCION LOGARITMO DE BASE  10

162

 

 

 

 

 

 

 

1

LOS DESPLAZAMIENTOS DE LA FUNCION LOGARITMO DE BASE 10

164

 

 

 

 

 

 

III

 

LAS FUNCION LOGARITMO DE BASE  e

165

 

 

 

 

 

 

 

1

LOS DESPLAZAMIENTOS DEL LOGARITMO DE BASE  e

167

 

 

2

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN DE LAS FUNCIONES INVERSAS

168

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

LAS FUNCIONES  DE ENRROLLAMIENTO

169

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y  ÁNGULOS

169

 

II

 

LOS    ANGULOS  Y  LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

171

 

III

 

COFUNCIONES

180

 

IV

 

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

181

 

V

 

LAS FUNCIONES SENO COSENO Y TANGENTE Y GRAFICOS

184

 

 

 

 

 

 

 

1

LA FUNCION SENO

184

 

 

2

LA FUNCION INVERSA DEL SENO

184

 

 

3

LA FUNCION COSENO

186

 

 

4

LA FUNCION INVERSA DEL COSENO

 

186

 

 

5

LA FUNCION TANGENTE

188

 

 

6

LA FUNCION INVERSA DE LA TANGENTE

189

 

 

 

 

 

 

VI

 

LA LEY DE LOS SENOS  Y  LA  LEY  DE LOS COSENOS

190

 

 

 

 

 

 

 

1

LEY DE LOS SENOS

190

 

 

2

LEY DE LOS COSENOS

191

 

 

3

EJERCICIOS DE EVALUACION

192

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

SISTEMAS DE DESIGUALDADES

193

 

 

 

 

 

 

I

 

REPASO DEL VALOR ABSOLUTO:  DESIGUALDADES

193

 

II

 

PROPIEDADES DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO  Y PROBLEMAS RESUELTOS

193

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS DE SISTEMAS DE DESIGUALDADES  EN UNA VARIABLE.

202

 

IV

 

SISTEMAS DE DESIGUALDADES  EN DOS  VARIABLES: PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS.

209

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

EL ALGEBRA DE MATRICES

221

 

 

 

 

 

 

I

 

CONCEPTOS GENERALES

221

 

 

 

 

 

 

 

1

LA SUMA DE MATRICES DE DOS FILAS Y DOS COLUMNAS

224

 

 

2

LA PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA DE MATRICES DE 2*2

228

 

 

3

EL ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA

228

 

 

4

EL ELEMENTO SIMETRICO RESPECTO A LA SUMA DE MATRICES DE 2*2

229

 

 

5

LA PROPIEDAD COMUTATIVA DE LA SUMA DE MATRICES

230

 

 

 

 

 

 

II

 

PROPIEDADES  DEL PRODUCTO DE UN NUMERO POR UNA MATRIZ

231

 

III

 

LA SUMA DE MATRICES EN  HOJAS ELECTRONICAS

234

 

IV

 

DEFINICION  DE  LA   MULTIPLICACION DE MATRICES 

235

 

V

 

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL

239

 

VI

 

DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES

241

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDAD ASOCIATIVA        (A*B)*C=A*(B*C)             

241

 

 

2

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION  RESPECTO A LA SUMA        (POR LA  IZQUIERDA)       A*(B+C)=A*B+A*C        

244

 

 

3

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION  RESPECTO A LA SUMA        (POR LA DERECHA)     (B+C)*A=B*A+C*A       

246

 

 

4

EXISTENCIA DE LA MATRIZ IDENTIDAD    A*I = I*A = A              

247

 

 

5

ASOCIATIVIDAD RESPECTO AL ESCALAR  c.

    c*(A*B) = A*(c*B)=(c*A)*B   

247

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VII

 

EJERCICIOS  DE  EVALUACION      

249

 

VIII

 

EJERCICIOS  RESUELTOS

250

 

IX

 

LAS MATRICES DE ORDEN 3*3 

254

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS MATRICES DE ORDEN 3*3 

255

 

 

2

PROPIEDADES  DEL PRODUCTO DE UN NUMERO POR UNA MATRIZ

255

 

 

3

LAS  PROPIEDADES  DE  LA  MULTIPLICACION  DE  MATRICES   3*3

256

 

 

4

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL

257

 

 

 

 

 

 

X

 

EJERCICIOS  RESUELTOS SOBRE ALGEBRA DE MATRICES

259

 

XI

 

LAS MATRICES DE ORDEN   m*n

264

 

XII

 

EL ALGEBRA DE LAS  MATRICES  COLUMNA     m*1

265

 

 

 

 

 

 

XIII

 

PROBLEMAS RESUELTOS   Y  AMPLIACIONES EN LAS OPERACIONES  ENTRE VECTORES.

269

 

XIV

 

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ADICIÓN DE VECTORES EN R3

271

 

XV

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

274

 

XVI

 

SUSTRACCIÓN DE VECTORES EN R3   Y   EJERCICIOS RESUELTOS

274

 

XVII

 

PRODUCTO DE UN VECTOR EN R3 POR UN ESCALAR :   EJERCICIOS RESUELTOS

277

 

XVIII

 

BASE CANÓNICA EN R3

280

 

XIX

 

DISTANCIA  Y NORMA DE VECTORES EN R3

  EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

283

 

XX

 

NORMA DE UN VECTOR EN R3: EJERCICIOS RESUELTOS Y

                 PROPUESTOS

290

 

XXI

 

PRODUCTO  ESCALAR  EN R3

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS.

293

 

XXII

 

PRODUCTO INTERIOR EUCLIDIANO EN R3

EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS.

297

 

XXIII

 

AUTOEVALUACIÓN

302

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

LA MULTIPLICACION DE MATRICES CUANDO NO SON CUADRADAS  Y LA TRANSPOCISION DE MATRICES

304

 

 

 

 

 

 

 

1

LA MULTIPLICACION DE MATRICES CUANDO NO SON CUADRADAS

304

 

 

2

TRANSPOSICION  DE MATRICES

306

 

 

3

PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION

308

 

 

4

EJEMPLOS   SOBRE LAS PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION  Y EL BINOMIO DE  NEWTON

308

 

 

5

EJERCICIOS DE EVALUACION  Y SUS RESPUESTAS

316

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

LA MATRIZ INVERSA

318

 

 

 

 

 

 

I

 

PROPIEDADES DE  LAS MATRICES INVERSAS

320

 

II

 

PROBLEMAS RESUELTOS MEDIANTE  HOJAS ELECTRONICAS  Y EL MATCAD

320

 

III

 

EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

323

 

IV

 

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

327

 

V

 

EJERCICIOS      CALCULE EL DETERMINANTE DE LAS SIGUIENTES MATRICES

330

 

VI

 

LA MATRIZ INVERSA MEDIANTE HOJAS ELECTRONICAS  U  HOJAS DE TRABAJO

333

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

LOS  SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

334

 

 

 

 

 

 

I

 

UN  ENFOQUE INTUITIVO DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

334

 

II

 

LAS OPERACIONES ELEMENTALES

339

 

III

 

METODOS DE SOLUCION   DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 

 

 

 

 

 

 

 

1

METODO DE SUSTITUCION

340

 

 

2

METODO DE IGUALACION

342

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA  SOLUCION  PARA LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES  POR MEDIO DE MATRICES  INVERSAS

343

 

 

 

 

 

 

 

1

EJEMPLO 1

343

 

 

2

EJEMPLO 2

344

 

 

3

EJEMPLO 3

345

 

 

4

EJEMPLO 4.

346

 

 

5

EJEMPLO 5

347

 

 

6

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES APLICANDO   LA MATRIZ INVERSA

348

 

 

7

PROBLEMAS RESUELTOS  DE APLICACIONES A LAS CIENCIAS ECONOMICAS.

351

 

 

 

 

 

 

V

 

LOS  ALGORITMOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE:  GAUSS, GAUSS JORDAN  Y   KRAMER.

356

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ALGORITMO DE GAUSS

356

 

 

2

EL METODO  PRÁCTICO  DE  GAUSS  JORDAN

358

 

 

3

ASPECTOS TEORICOS DEL METODO DE GAUSS JORDAN

363

 

 

4

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR MEDIANTE GAUSS JORDAN

 

366

 

 

5

LA  REGLA  DE  KRAMER

369

 

 

 

 

 

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS POR LOS METODOS DE GAUSS, GAUSS JORDAN Y EL METODO DE LA INVERSA. 

373

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

EL   CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

387

 

 

 

 

 

 

I

 

OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA CARTESIANA

389

 

 

 

 

 

 

 

1

 ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:   PROPIEDADES Y EJERCICIOS

389

 

 

 

 

 

 

II

 

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS

 

391

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDAD DE CERRADURA

391

 

 

2

PROPIEDAD  COMMUTATIVA

392

 

 

3

EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO DE LA SUMA

392

 

 

4

EXISTENCIA DEL SIMETRICO ADITIVO EN LOS COMPLEJOS.

393

 

 

5

LA PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS RESPECTO A LA ADICION.

394

 

 

 

 

 

 

III

 

MLTIPLICACION DE UN NUMERO REAL POR UN NUMERO COMPLEJO.

394

 

IV

 

LA RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS, EJERCICIOS RESUELTOS Y  PROPUESTOS

395

 

V

 

EJERCICIOS PROPUESTOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

397

 

VI

 

PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS

398

 

VII

 

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

399

 

VIII

 

LA DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS

404

 

IX

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

407

 

X

 

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

408

 

XI

 

EJERCICIOS RESUELTOS

410

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

EJERCICIOS  RESUELTOS Y PROPUESTOS SOBRE LAS OPERACIONES  EN  R2

420

 

 

 

 

 

 

I

 

SUMA DE VECTORES.

420

 

II

 

VECTORES IGUALES

421

 

III

 

EL OPUESTO DE UN VECTOR  Y EJERCICIOS RESUELTOS   Y    PROPUESTOS

421

 

IV

 

DIFERENCIA DE VECTORES  Y EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

424

 

V

 

MAGNITUD DE UN VECTOR EN UNA BASE CANÓNICA

430

 

VI

 

NORMA Y DISTANCIA DE UN VECTOR

431

 

 

 

 

 

 

 

1

NORMA DE UN VECTOR

431

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS  Y  EJERCICIOS PROPUESTOS

431

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS  SOBRE  LA  DISTANCIA  Y  NORMA DE UN VECTOR EN R2

434

 

 

 

 

 

 

VII

 

PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO INTERIOR EUCLIDIANO

435

 

VIII

 

EJERCICIOS RESUELTOS   Y EJERCICIOS PROPUESTOS

435

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

BIBLIOGRAFIA  

440

 

 

 

[1]  Antes hemos escrito “LAS  MATEMATICA DE SEPTIMO, OCTAVO Y NOVENO GRADO” con los requerimientos del Ministerio de Educación Publica.  .   Consultar  el CD que contiene 45 libros para  educación media y superior.  libros del IICES  y  CIMES.

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MATEMATICA DE NOVENO GRADO (CEB)

  1. INTRODUCCION

 El presente libro de matematica de noveno grado agrupa varios temas de la matematica según lo requiere el MINISTERIO DE EDUCACION  PÚBLICA.   En el  Diseño Curricular Básico de matematica para el tercer ciclo  (DCB) se presentan los siguientes objetivos que:

 Reconocen situaciones que se pueden describir mediante ecuaciones cuadráticas.

  • Resuelven ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado y mediante la fórmula cuadrática.
  • Reconocen ecuaciones lineales en dos variables en sus tres formas:
  • Y = mX + b,             Y – Y1 = m(X – X1),            aX + bY = c.
  • Grafican ecuaciones lineales en dos variables en el sistema de coordenadas cartesianas.
  • Resuelven gráfica y algebraicamente sistemas de dos ecuaciones lineales.
  • Resuelven gráfica y algebraicamente inecuaciones lineales en una variable.
  • Resuelven gráfica y algebraicamente inecuaciones cuadráticas en una variable.
  • Construyen con regla y compás un círculo que pasa por tres puntos no colineales.
  • Construyen tangentes a círculos.
  • Construyen polígonos regulares.
  • Calculan el perímetro y el área de polígonos regulares.
  • Calculan el perímetro y el área de círculos.
  • Calculan áreas laterales y volúmenes de poliedros, cilindros y esferas.
  • Reconocen la importancia de las medidas de dispersión para clasificar datos.
  • Desarrollan el concepto de la probabilidad de eventos iguales, más o menos probables, seguros e imposibles en situaciones del entorno.
  • Aplican el tanto por ciento en situaciones de la vida real y sus extensiones al interés simple y compuesto en el mercado financiero.

  De esta manera en la primera parte presentamos el plano cartesiano, la distancia entre dos puntos y su representación grafica, las tres maneras pupulares de presentar una ecuación de la lineal recta (forma pendiente punto, la forma pendiente intercepto y la forma estándar o general.

 En la segunda parte presentamos las bases de la evaluación de polinomios, los ceros de un polinomio, repesentaciones graficas de polinomios, teoremas sobre los ceros de polinomios y de la división sintetica.    Esta parte es una continuación al tema de polinomios que presentamos en el  libro de matematica de octavo grado, en donde cubrimos las operaciones y propiedades de los polinomios, factorización y simplificación de polinomios y simplificación de expresiones racionales  o  simplicacion del caso particular de la división de polinomios, cuando el residuo de la división es cero.  

 En la tercera parte, estudiamos elementos mas avanzados de geometría y trigonometría plana a las estudiadas en los libros de matematica para el séptimo grado y octavo grado.  En esta parte estudiamos el circulo, rectas tangentes, los angulos inscritos y circunscritos,  areas y volúmenes de de figuras geométricas y trigonométricas planas.

 En la cuarta parte estudiamos temas mas avanzados del análisis combinatorio y  temas de estadística descriptiva como las medidas de tendencia centras y las medidas de dispersión y de posisionamiento.  

 En la quinta parte estudiamos temas del tanto por ciento y porcentaje hacia  las aplicaciones, interés simple  y  del interés compuesto.         

 Agradezco a Dios Padre nuestro creador me haya permitido escribir en libros electrónicos los 36 archivos que conforman el CD  “ LOS LIBROS DEL IICES  e  CIMES que son la bases de información educativa de la enseñanza aprendizaje para la educación media y superior de Honduras y Centroamerica.

 

 

 

 

TEMA

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

                                      INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

 

 

 

                   PRIMERA  PARTE

 

 

 

 

 

3

 

I

 

OBJETIVO GENERAL

3

 

II

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

INTRODUCCION A LAS RELACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

4

 

 

 

 

 

 

I

 

EL PRODUCTO CARTESIANO

4

 

II

 

LAS  COORDENADAS CARTESIANAS

5

 

III

 

LAS RELACIONES Y LAS FUNCIONES   LINEALES Y CUADRATICAS

7

 

IV

 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

13

 

V

 

LAS RELACIONES  Y   FUNCIONES LINEALES: FORMA ESTANDAR

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

LOS  SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

33

 

 

 

 

 

 

I

 

UN  ENFOQUE INTUITIVO DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

33

 

II

 

METODOS DE SOLUCION   DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

38

 

III

 

ACTIVIDADES Y SUGERENCIAS PARA EL PROFESOR

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            SEGUNDA  PARTE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

ALGEBRA:  SOLUCION DE POLINOMIOS Y  CEROS DEL POLINOMIO

49

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVO GENERAL:

49

 

II

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

EL VALOR NUMERICO  Y  LOS CEROS DE UN POLINOMIO

50

 

 

 

 

 

 

I

 

EL VALOR NUMERICO DE UN  POLINOMIO

50

 

II

 

LOS  CEROS DE UN  POLINOMIO Y EJERCICIOS RESUELTOS

55

 

III

 

LOS CEROS DE UN POLINOMIO DE GRADO 2  Y  DEDUCCION DE LA FORMULA CUADRATICA: GRAFICOS

65

 

IV

 

LA DIVISION SINTETICA  Y LOS CEROS DE UN POLINOMIO.  

80

 

V

 

TEOREMAS ACERCA DE LA FACTORIZACION DE LOS POLINOMIOS Y APLICACIONES

84

 

VI

 

TEOREMA DE LOS CEROS COMPLEJOS DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALES

87

 

VII

 

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

93

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                       TERCERA PARTE

 

 

 

 

 

 

A

 

 

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA

99

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVO GENERAL

99

 

II

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

99

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

CIRCULOS Y ARCOS

100

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES

100

 

II

 

TEOREMAS SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ARCO

110

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS

111

 

IV

 

AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS

114

 

V

 

PROBLEMAS RESUELTOS

114

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

CUERPOS SOLIDOS

122

 

 

 

 

 

 

I

 

PLANOS DEL ESPACIO

122

 

II

 

PRISMAS Y CILINDROS

123

 

III

 

PIRAMIDES Y CONOS

127

 

IV

 

ESFERAS

129

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

VOLUMENES

131

 

 

 

 

 

 

I

 

COMENTARIOS

131

 

II

 

FORMULAS PARA EL CALCULO DE VOLUMENES

131

 

III

 

FORMULAS PARA EL CALCULO DE VOLUMENES

131

 

IV

 

PROBLEMAS RESUELTOS

132

 

V

 

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

140

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                  CUARTA PARTE

 

 

 

 

 

 

A

 

 

LAS MEDIDAS DE DISPERSION Y LOS ESPACIOS EQUIPROBABLES

145

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVO GENERAL

145

 

II

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

145

 

 

 

 

 

B

 

 

REPASO DE BASES DE DATOS, Y MEDIDAS DE TENDENCIA  CENTRAL

146

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIÓN DE VARIABLE  Y   DE BASE DE DATOS

146

 

II

 

DEFINICIÓN DE BASE DE DATOS

151

 

III

 

LAS  MEDIDAS DE TENDENCIA   CENTRAL

153

 

IV

 

GRAFICOS POR MEDIO DEL SPSS

165

 

V

 

CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

166

 

VI

 

EJEMPLOS RESUELTOS SOBRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

168

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

LAS MEDIDAS  DE  DISPERSIÓN

173

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QUINTA PARTE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

EL TANTO POR CIENTO, EL INTERES SIMPLE Y EL INTERES COMPUESTO

179

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVO GENERAL

179

 

II

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

179

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

PORCENTAJE  O  TANTO  POR  CIENTO

180

 

 

 

 

 

 

I

 

CALCULO DEL PORCENTAJE

181

 

II

 

FORMALIZACION DEL  CALCULO  DEL  TANTO POR CIENTO  Y SUS VARIANTES

184

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

EL INTERES SIMPLE

193

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

193

 

II

 

EL INTERES

193

 

III

 

EL CAPITAL MAS  LOS INTERESES

196

 

IV

 

VALOR ACTUAL O PRESENTE DE UNA DEUDA

199

 

V

 

CALCULO DE LA TASA DE INTERES

202

 

VI

 

LAS COMISIONES

203

 

VII

 

LOS DECUENTOS COMERCIALES

203

 

VIII

 

ACTIVIDADES   Y       SUGERENCIAS    AL    PROFESOR

203

 

IX

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE EL DESCUENTO BANCARIO.

209

 

 

 

 

 

D

 

 

EL INTERES COMPUESTO Y SUS APLICACIONES

212

 

 

 

 

 

 

I

 

EL INTERES COMUESTO

212

 

II

 

LA TASA NOMINAL Y EFECTIVA

217

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE EL DESCUENTO BANCARIO.

218

 

IV

 

APLICACIONES DEL INTERES COMPUESTO

219

 

 

 

 

 

 

 

 

SEXTA PARTE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BIBLIOGRAFIA

228

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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MATEMATICA DE OCTAVO GRADO (CEB)

  1. INTRODUCCION

 El presente libro de matematica de octavo grado agrupa varios temas de la matematica según lo exige el MINISTERIO DE EDUCACION  PUBLICA en el  Diseño Curricular Básico de matematica para el tercer ciclo  (DCB), de esta manera el Estudiante  en esta parte B sobre los números irracionales  deberá cubrir los siguientes:

  • Determinar la raíz cuadrada y cúbica de números
  • Operar con números de la forma   a + b*  con a, b números racionales. 
  • Operar con números irracionales
  • Operar con numeros reales
  • Operar con polinomios.
  • Factorizar expresiones algebraicas y polinomios
  • Operar con expresiones racionales algebraicas
  • Resuelver problemas aplicando el teorema de Pitágoras
  • Aplicar el principio de conteo de eventos y análisis
  • Presentar datos en tablas y polígonos de frecuencia e histogramas.
  • Determinar las medidas de tendencia central[1] y de dispersión para clasificar datos y tomar decisiones.
  • Determinar si dos triángulos son congruentes.
  • Determinar si dos triangulos son semejantes.

Respecto a los triangulos presentamos los elementos de operación sobre la congruencia y semejanza de triangulos  pero a nivel práctico es becesario que el estudiante pueda hacer construcciones de figuras geométricas y en el CD presentamos variedad de figuras geométricas[2] que al imprimirse el estudiante puede respaldarse en tales ejercicios practicos, en este sentido  se pueden:

  • Construir  bisectrices, medianas, mediatrices y alturas de un triángulo con regla y compás
  • Construir  triángulos con tres elementos dados.
  • Construir  triángulos semejantes.
  • Construir cuadriláteros: Cuadrados, rombos, rectángulos, paralelogramos, trapezoides isósceles, trapezoides.

 En esta perspectiva en la parte  B   presentamos  los números irracionales y sus propiedades.  En la parte  C  presentamos las  ampliaciones hacia  los números reales[3], propiedades de las operaciones de los números reales, ordenamiento,  intervalos, sistemas de desigualdades  y el valor absoluto y sus propiedades.   

  En la parte  D  presentamos  el algebra de los polinomios  y las propiedades de las operaciones de la suma, resta, multiplicación.  De esta manera cubrimos los productos notables con  las propiedades de los polinomios en su extensión de la factorización,  los ceros de un polinomio y su grafico en el plano cartesiano reforzado con graficos  generados por el “Equation Grapher”      En todos  los libros de matematica del IICES  y  del  CIMES  se  utiliza el simbolo  * que representa a la  multiplicación, este símbolo se utiliza en todos los programas de matematica.  Por aspectos pedagógicos decidimos utilizar tal simbología.    Ejemplo:  

  En la parte  E, estudiamos la simplificacion  expresiones algebraicas racionales en sus diversas expresiones notables.    En la parte  F   estudiamos elementos de la  geometria  plana:  el punto, la línea, los segmentos y sus operaciones; los polígonos,  la  semejanza y congruencia de triangulos, los cuadriláteros y sus propiedades, ejercicios practicos de la geometria plana.    Recordando que en el libro anterior estudiamos  elementos  básicos  de geometría plan, estudiamos las   aplicaciones de rectas paralelas, perpendiculares y conceptos axiomaticos de la geometría plana partiendo de los conceptos primitivos de punto, recta y plano.  Las  propiedades de los  triangulos y  otras figuras geométricas en la que se refuerzan los conceptos sobre la construcción de figuras geométricas con cartulina.   Ver  CD.     El Profesor debera iniciar con los polígonos, sin embargo presentamos algunos elementos básicos de la geometría para el entendimiento de la geometría plana como lo exige el DCB del MEP,  tales bases se presentan con la intención de reforzar los conceptos estudiados en el séptimo libro considerando que la memoria de corto plazo del Estudiante tiende a fallar.

 En la  parte G   estudiamos las propiedades del conteo en el análisis combinatorio y  temas de estadística descriptiva como las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión.  Seguimos con los temas de estadística y probabilidad del libro de matematica para el séptimo grado.  De ahí la importancia de hacer repasos rapidos de los temas que conforman la estadística descriptiva, bases de datos y graficos.    Tambien en el libro séptimo de matematica introducimos elementos de los espacios equiprobables  que se enlaza con el análisis combinatorio  y estadística de este octavo libro.

 Agradezco a Dios Padre nuestro creador por haberme permitido escribir los 45 libros (cuarenta y cinco) del IICES  y  CIMES[4] para desarrollarse en la Educacion Media y Superior. 

 

 

 

TEMA

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

                               INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

LOS NUMEROS IRRACIONALES:   OPERACIONES   CON SUS PROPIEDADES.

3

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVOS

3

 

 

 

 

 

 

 

1

OBJETIVO GENERAL

5

 

 

2

OBJETIVOS ESPECIFICOS

9

 

 

 

 

 

 

II

 

LOS RADICALES  Y  EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES 

5

 

 

 

 

 

 

 

1

CONCEPTOS GENERALES DE LOS RADICALES

5

 

 

2

LEYES DE LOS RADICALES

9

 

 

3

RADICALES SEMEJANTES

10

 

 

4

    EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

13

 

 

5

EJERCICIOS PROPUESTOS

16

 

 

6

LA SUMA DE RADICALES SEMEJANTES

16

 

 

7

EJERCICIOS PROPUESTOS

19

 

 

8

PRODUCTO DE RADICALES DEL MISMO ORDEN O CLASE

19

 

 

9

EJERCICIOS PROPUESTOS

22

 

 

10

LA DIVISION DE RADICALES DEL MISMO ORDEN O CLASE

23

 

 

11

EJERCICIOS PROPUESTOS

25

 

 

12

EL CONJUGADO DE UN NUMERO   DE LA FORMA 

26

 

 

13

RACIONALIZACION DE LOS DENOMINADORES Y  PROBLEMAS RESUELTOS

27

 

 

14

EJERCICIOS RESUELTOS

29

 

 

15

EJERCICIOS PROPUESTOS    

32

 

 

 

 

 

 

III

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES  

32

 

IV

 

AUTOEVALUACIÓN

35

 

 

 

 

 

C

 

 

EL CONJUNTO DE LOS  NUMEROS REALES    ¡

38

 

 

 

 

 

 

I

 

EL CONJUNTO DE LOS  NUMEROS REALES    ¡    Y   LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE SUMA Y MULTIPLICACION 

39

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDAD DE CERRADURA

39

 

 

2

PROPIEDAD CONMUTATIVA  DE LA SUMA

39

 

 

3

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA

39

 

 

4

EXISTENCIA DEL NEUTRO ADITIVO

39

 

 

5

EXISTENCIA DEL ELEMENTO SIMETRICO DE LA SUMA      

40

 

 

 

 

 

 

II

 

PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN MULTIPLICACION     

40

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDAD DE CERRADURA DE LA MULTIPLICACION

40

 

 

2

PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACION

40

 

 

3

PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACION

40

 

 

4

EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO DE LA MULTIPLICACION

41

 

 

5

EXISTENCIA DEL ELEMENTO SIMETRICO DE LA MULTIPLICACION 

41

 

 

6

PROBLEMAS RESUELTOS

41

 

 

7

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION RESPECTO A LA SUMA

42

 

 

8

LEY DE LOS SIGNOS

43

 

 

 

 

 

 

III

 

LEYES DE LOS EXPONENTES

43

 

 

 

 

 

 

 

1

EXPRESIONES EXPONENCIALES.

44

 

 

2

REGLAS DE LOS EXPONENTES

44

 

IV

 

LOS INTERVALOS DE NUMEROS REALES Y EL ORDENAMIENTO DEL CONJUNTO

45

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ORDENAMIENTO DE LOS NUMEROS REALES

45

 

 

2

LOS INTERVALOS

46

 

 

 

 

 

 

V

 

EL  VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES CON EJEMPLOS

48

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

48

 

 

2

PROBLEMAS RESUELTOS

48

 

 

3

OTRAS  PROPIEDAD DEL VALOR ABSOLUTO

53

 

 

4

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTOEPTO RESPECTO AL CONCEPTO DISTANCIA

57

 

 

5

EJERCICIOS  DE  EVALUACION DEL VALOR ABSOLUTO

57

 

 

6

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS SOBRE LAS DESIGUALDADES

58

 

 

7

REPASO SOBRE LAS DESIGUALDADES EN LA RECTA NUMERICA

59

 

 

8

PROBLEMAS RESUELTOS

59

 

 

9

MAS SOBRE SISTEMAS DE DESIGUALDADES 

63

 

 

10

Ejercicios propuestos

71

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

ALGEBRA DE   POLINOMIOS

72

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVO GENERAL

72

 

II

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

72

 

III

 

DEFINICIÓN DE POLINOMIO

72

 

 

 

 

 

 

 

1

LA NOTACION SUMATORIA    ∑ 

73

 

 

2

LAS PROPIEDADES DE LA SUMATORIA    ( ∑ )

74

 

 

3

LOS POLINOMIOS CON LA NOTACION DE SUMATORIA  (  ∑  )

76

 

 

4

LA   IGUALDAD  DE  POLINOMIOS

76

 

 

5

GRADO DE UN POLINOMIO    P(x)

77

 

 

6

EJEMPLOS Y EJERCICIOS  PROPUESTOS

78

 

 

7

SUMA DE POLINOMIOS

79

 

 

8

PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS

80

 

 

9

PROBLEMAS RESUELTOS

81

 

 

10

LA RESTA DE POLINOMIOS

88

 

 

11

EJERCICIOS  RESUELTOS SOBRE SUMAS Y RESTAS DE POLINOMIOS

89

 

 

 

 

 

 

IV

 

EL PRODUCTO DE UN NUMERO POR UN POLINOMIO

94

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN NUMERO POR UN POLINOMIO:  EJEMPLOS

95

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

99

 

 

 

 

 

 

V

 

LA MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

100

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICIÓN FORMAL DEL PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS

102

 

 

2

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

103

 

 

3

EJERCICIOS  RESUELTOS

104

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

108

 

 

 

 

 

 

VI

 

INTRODUCCION  A LA FACTORIZACION Y EJERCICIOS RESUELTOS

110

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

118

 

 

 

 

 

 

VII

 

EL     TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

118

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

121

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

123

 

 

 

 

 

 

VIII

 

FACTORIZACION POR COMPLETACION DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

124

 

IX

 

FACTOR COMÚN POR AGRUPACION

128

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS

130

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS  Y EJERCICIOS PROPUESTOS

132

 

 

 

 

 

 

X

 

FACTORIZACION  POR DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

134

 

 

 

 

 

 

 

1

PROCEDIMIENTO Y PROBLEMAS RESUELTOS

135

 

 

2

PROBLEMAS RESUELTOS  Y  PROBLEMAS PROPUESTOS

137

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

139

 

 

 

 

 

 

XI

 

FACTORIZACION DEL BINOMIO AL  CUBO

140

 

 

 

 

 

 

 

1

PROCEDIMIENTO DE SOLUCION  Y EJEMPLOS

141

 

 

 

 

 

 

XII

 

EL BINOMIO DE NEWTON

144

 

 

 

 

 

 

 

1

EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO

145

 

 

2

El  FACTORIAL DE UN NUMERO

146

 

 

3

LOS COEFICIENTES BINOMICOS

147

 

 

4

EL BINOMIO DE NEWTON Y EL TRIANGULO DE PASCAL,  EJEMPLOS

148

 

 

5

PROBLEMAS RESUELTOS

152

 

 

 

 

 

 

XIII

 

FACTORIZACION DE UNA SUMA DE CUBOS Y RESTA DE CUBOS

154

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS

155

 

 

 

 

 

 

XIV

 

FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS

157

 

XV

 

AUTOEVALUACIÓN

159

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

FACTORIZACION  EN   ECUACIONES  RACIONALES ALGEBRAICAS

161

 

 

 

 

 

 

I

 

ECUACIONES RACIONALES NOTABLES Y SIMPLIFICACION

161

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS

161

 

 

2

COCIENTE DE LA SUMA O RESTA DE CUBOS ENTRE LA SUMA O RESTA DE SUS BASES.    PROBLEMAS RESUELTOS

163

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

165

 

 

 

 

 

 

II

 

OTROS EJEMPLOS RESUELTOS POR  SIMPLIFICACION

165

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

166

 

 

 

 

 

 

III

 

MULTIPLICACION DE ECUACIONES RACIONALES Y SIMPLIFICACION

167

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

169

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA DIVISION DE ECUACIONES RACIONALES  Y PROBLEMAS RESUELTOS

169

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

171

 

 

 

 

 

 

V

 

AUTOEVALUACIÓN

171

 

VI

 

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES:  PROBLEMAS RESUELTOS  Y PROBLEMAS PROPUESTOS

172

 

VII

 

AUTOEVALUACIÓN

174

 

VIII

 

ACTIVIDADES A REALIZAR  EN  FACTORIZACION

176

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

GEOMETRIA  PLANA:  LOS TRIANGULOS, CUADRILATEROS,  POLIGONOS, SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

182

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVOS

182

 

 

 

 

 

 

 

1

OBJETIVO GENERAL

182

 

 

2

OBJETIVOS ESPECIFICOS

182

 

 

 

 

 

 

II

 

TERMINOS PRIMITIVOS  Y  RELACIONES 

182

 

III

 

LA ESTRUCTURA LOGICA DE LA GEOMETRIA  

184

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPOSICION

184

 

 

2

AXIOMAS

184

 

 

3

TEOREMA

186

 

 

4

COROLARIO

186

 

 

 

 

 

 

IV

 

LOS SEGMENTOS

187

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LOS SEGMENTOS

187

 

 

 

 

 

 

V

 

PRINCIPIOS DE LA GEOMETRIA AXIOMATICA

189

 

 

 

 

 

 

 

1

CONCEPTOS BASICOS

189

 

 

2

CONJUNTOS CONVEXOS

194

 

 

 

 

 

 

VI

 

LOS  ANGULOS

197

 

 

 

 

 

 

 

1

LA MEDIDA DE ANGULOS

201

 

 

2

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

201

 

 

3

SEGMENTO Y ANGULO

202

 

 

4

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

202

 

 

5

POSTULADOS SOBRE  LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS

205

 

 

6

LA  SUMA DE LOS ANGULOS  ES UNA LEY DE COMPOSICION INTERNA

207

 

 

7

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS ANGULOS

208

 

 

8

DIFERENCIA DE ANGULOS

211

 

 

9

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE ANGULOS

211

 

 

10

OTRAS DEFINICIONES Y TEOREMAS

214

 

 

11

PROBLEMAS RESUELTOS

222

 

 

12

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

227

 

 

 

 

 

 

VII

 

LOS POLIGONOS  Y LOS CONJUNTOS CONVEXOS:   PROPIEDADES.

230

 

VIII

 

LOS TRIANGULOS

235

 

IX

 

CONGRUENCIA  DE TRIANGULOS

 

240

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ENFOQUE AXIOMATICO

240

 

 

2

PROBLEMAS RESUELTOS

242

 

 

 

 

 

 

X

 

SEMEJANZA  Y  LA  IGUALDAD DE TRIANGULOS

247

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ENFOQUE AXIOMATICO   

247

 

 

2

PROBLEMAS  RESUELTOS Y  COMPLEMENTARIOS

250

 

 

3

PROBLEMAS  SUPLEMENTARIOS Y SUS RESPUESTAS

 

 

 

4

PROPIEDADES DE  LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

260

 

 

5

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE  TRIANGULOS

261

 

 

6

LA IGUALDAD  O CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS

262

 

 

 

 

 

 

XI

 

LOS CUADRILATEROS

265

 

XII

 

PERÍMETRO DE POLÍGONOS

268

 

XIII

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LOS CUADRILATEROS

269

 

XIV

 

ACTIVIDADES DE APOYO PARA GEOMETRIA

271

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

ANALISIS COMBINATORIO   Y   ESTADISTICA DESCRIPTIVA

277

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVOS

277

 

 

 

 

 

 

 

1

OBJETIVO  GENERAL

277

 

 

2

OBJETIVOS ESPECIFICOS

277

 

 

3

INTRODUCCION

 

 

 

 

 

 

 

II

 

PROBLEMAS RESUELTOS DE  ANÁLISIS COMBINATORIO

278

 

III

 

El  FACTORIAL DE UN NÚMERO

287

 

IV

 

PERMUTACIONES

288

 

V

 

MUESTRAS ORDENADAS

293

 

VI

 

LOS COEFICIENTES BINOMICOS

294

 

VII

 

EJERCICIOS RESUELTOS

295

 

VIII

 

PROBLEMAS PROPUESTOS CON SUS RESPUESTAS

303

 

IX

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

307

 

X

 

COMBINACIONES  Y PARTICIONES ORDENADAS

309

 

XI

 

PARTICIONES Y PARTICIONES CRUZADAS

311

 

 

 

 

 

 

 

1

PARTICIONES ORDENADAS

312

 

 

2

PROBLEMAS RESUELTOS

314

 

 

3

PROBLEMAS PROPUESTOS

332

 

 

 

 

 

 

XII

 

DEFINICIÓN DE  ESTADISTICA 

336

 

XIII

 

LOS DATOS ESTADÍSTICOS

337

 

XIV

 

ESTADÍSTICA, COMPUTADORAS,  LAS  HOJAS ELECTRÓNICAS  Y  LOS PAQUETES   ESTADÍSTICOS.

339

 

XV

 

DEFINICIÓN DE VARIABLE

343

 

XVI

 

DEFINICIÓN DE BASE DE DATOS

348

 

XVII

 

EJEMPLOS DE BASES DE DATOS EN EL SPSS  Y  EN  EL  EXCELL

350

 

XVIII

 

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

354

 

XIX

 

REPRESENTACIONES GRAFICAS

359

 

 

 

 

 

 

 

1

GRAFICOS PARA VARIABLES CUALITATIVAS

359

 

 

2

GRAFICOS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS

362

 

 

 

 

 

 

XX

 

LA  REPRESENTACIÓN  GRAFICA  DE  LAS  VARIABLES QUE  CONFORMAN     LA BASE DE DATOS

363

 

XXI

 

LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

378

 

 

 

 

 

 

 

1

EJEMPLO  1

378

 

 

2

EJEMPLO  2

380

 

 

3

FORMACION DE UNA DISTRIBUCION EMPIRICA A PARTIR DE  UN CONJUNTO DE DATOS

382

 

 

4

GRAFICA PARA UNA DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS  ACUMULADA

384

 

 

 

 

 

 

XXII

 

MAS ELEMENTOS SOBRE LAS FRECUENCIAS

389

 

XXIII

 

ELECCION DE LAS CLASES

389

 

XXIV

 

GRAFICOS PARA VARIABLES DISCRETAS

393

 

XXV

 

GRAFICOS PARA VARIABLES CONTINUAS

396

 

XXVI

 

LAS  MEDIDAS DE TENDENCIA   CENTRAL

402

 

 

 

 

 

 

 

1

LA MEDIA

403

 

 

2

LA MEDIANA

406

 

 

3

LA MODA

407

 

 

 

 

 

 

XXVII

 

CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

407

 

 

 

 

 

 

 

1

LA MEDIA ARITMÉTICA.

407

 

 

2

LA MEDIANA

408

 

 

3

LA MODA

408

 

 

 

 

 

 

XXVIII

 

EJEMPLOS RESUELTOS SOBRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.         

409

 

XXIX

 

MAS  EJEMPLOS RESUELTOS SOBRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

411

 

 

 

 

 

 

XXX

 

MEDIDAS  DE  DISPERSIÓN

413

 

 

 

 

 

 

 

1

LA DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA  (DMA)

414

 

 

2

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

415

 

 

 

 

 

 

XXXI

 

ACTIVIDADES PARA ANALISIS COMBINATORIO  Y ESTADISTICA

422

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BIBLIOGRAFIA

424

 

 

[1] Al respecto introducimos la simbología de la sumatoria en los polinomios con la intención de utilizarlos en las medidas de tendencia central y dispersión.

[2] Consultar  el libro:  “GEOMETRIA PLANA Y ANALITICA” y  las figuras geométricas.  Trabajos eleborados por Jose Salomon Perdomo Mejia.   Librros del IICES  y  CIMES.

[3] recordando que en el séptimo grado en donde se cubren los números naturales, enteros y números racionales con todas sus propiedades en las operaciones.  

[4]    45   Libros electrónicos disponibles en el CD  “HONDURAS RESTICCION EXTERNA, MERCADOS FINANCIEROS Y EMPLEO”.   Libros disponibles para todas las instituciones de Educacion Media y Superior.

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MATEMATICA DE SEPTIMO GRADO

  1. INTRODUCCION

 El presente libro de matematica de septimo grado cubre los requisitos establecidos por el Ministerio de Educacion en el Diseño Curricular Basico (DCB).   En cada parte del libro y a nivel del docente presentamos los objetivos generales y particulares de cada tema exigido por el  DCB de la matematica de septimo grado.      Asi en la parte  B  estudiamos los números naturales, su grafico en la recta numérica, propiedades de las operaciones y ejercicios resueltos y propuestos.  En la parte C estudiamos los  números enteros, su grafico en la recta numérica, las propiedades de cada operación incluyendo las leyes de los signos en esta estructura numérica e incluimos las propiedades del valor absoluto y las propiedades de los exponentes.  Se incluyen ejercicios resueltos y propuestos.

En la parte D estudiamos los números racionales,  la representación grafica de los racionales, las  propiedades de sus operaciones de los números racionales, leyes de los signos. Se incluyen problemas resueltos y problemas propuestos.   En la parte E  presentamos los números racionales y su conversión a numeros decimales, cubriendo las operaciones con números decimales extendiéndose a la división de  tales números,  seguidamente cubrimos la conversión de los números decimales a números fraccionarios, prsentamos problemas propuestos y resueltos, finalmente presentamos los números decimales en notación científica en potencias de 10. 

En la parte F presentamos los elementos básicos de la estadística en donde se pretende proporcionar y facilitar los conocimientos de las bases de datos con la utilización de paquetes estadísticos y el Excel de esta manera se fortalece la presentación y graficacion de la infomacion en datos estadisticos, incorporando los conceptos de conjuntos eventos en los espacios equiprobables hacia las aplicaciones de la toma de decisiones,  en esta parte hacemos una introducción de los conceptos básicos de la teoría de conjuntos para un mejor entendimiento de los espacios equiprobables.

 Respecto a las proporciones, presentamos el concepto, distinguiendo  entre proporcionalidad directa e indirecta. Se resuelven problemas que involucran proporcionalidad aplicando la Regla de Tres.   Se presentan  aplicaciones de la proporcionalidad y se entiende ell concepto al interés que genera el dinero, esto es, el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, de esta manera la constante de proporcionalidad es la tasa de interés generándose aplicaciones a los  mercados financieros.   De la manera anterior pretendemos  desarrollar el concepto de la razón  dos números en aplicaciones de los números racionales.

 Respecto a las bases de la geometria se facilitar los conocimientos básicos de la geometria analítica tales como los conceptos primitivos de puntos líneas y planos en sus extenciones a Segmentos y rayos, líneas rectas de longitud infinita, División de líneas,  Rayos, Segmentos,  Punto medio del segmento, Bisección de un segmento (Bisector), angulos, rectas paralelas y perpendiculares,  Puntos colineales,  Congruencia de segmentos (≅)

 Mis agradecimientos a Dios Padre nuestro creador, por haberme permitido escribir los 45 libros que conforman los aportes del IICES y del  CIMES, al “Sistema Educativo Medio y Superior”.

 

 

 

 

TEMA

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

LOS NUMEROS NATURALES  

2

 

 

 

 

 

 

I

 

REPASO  DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES   ¥  Y ¥*

2

 

II

 

EL ORDENAMIENTO EN LOS  CONJUNTOS     N  y   ¥*

3

 

 

 

 

 

 

 

1

RELACION DE ORDEN EN  N   y   N*

4

 

 

2

LA RELACION MAYOR O IGUAL QUE     ≥

5

 

 

3

LA RELACION MENOR  O IGUAL QUE     ≤

5

 

 

4

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD EN LOS NUMEROS NATURALES

6

 

 

5

PROPIEDADES DE LA RELACION DE ORDEN EN LOS NATURALES

6

 

 

 

 

 

 

III

 

REPRESENTACION GRAFICA DEL CONJUNTO   N  y   N*

7

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

10

 

 

 

 

 

 

IV

 

LAS OPERACIONES Y SUS PROPIEDADES EN LOS NUMEROS NATURALES

11

 

 

 

 

 

 

 

1.

OBJETIVOS DE LA SECCION

11

 

 

2.

OPERATORIA  EN  LOS NUMEROS  NATURALES    ¥  Y  ¥*

11

 

 

3.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NATURALES

13

 

 

4.

EJERCICIOS PROPUESTOS

15

 

 

5.

MULTIPLICACION O PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES

16

 

 

6.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE NUMEROS NATURALES

17

 

 

7.

EJERCICIOS PROPUESTOS

18

 

 

8.

EJERCICIOS PROPUESTOS

19

 

 

9.

EJERCICIOS PROPUESTOS

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

23

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVO GENERAL  

 

23

 

II

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS A TRAVES DE ACTIVIDADES Y PROCESOS

 

 

III

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS: GENERALIDADES

23

 

IV

 

REPRESENTACION GRAFICA DE LOS ENTEROS

24

 

V

 

ORDENAMIENTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

25

 

 

 

 

 

 

 

1

RELACION DE ORDEN EN   ¢

25

 

 

2

LA RELACION MAYOR O IGUAL QUE     ≥

27

 

 

3

LA RELACION MENOR  O IGUAL QUE     ≤

27

 

 

4

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD EN LOS NUMEROS ENTEROS

28

 

 

5

PROPIEDADES DE LA RELACION DE ORDEN   ≥   EN LOS ENTEROS

28

 

 

 

 

 

 

VI

 

OPERACIONES CON LOS  ENTEROS

29

 

 

 

 

 

 

 

1

REGLAS PARA SUMAR ENTEROS

29

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

29

 

 

3

NUMEROS OPUESTOS

30

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

30

 

 

5

PROPIEDADES DE LA SUMA DE ENTEROS

31

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS

33

 

 

7

RESTA O SUSTRACCION DE ENTEROS

34

 

 

8

REPRESENTACION GRAFICA DE LA RESTA DE DOS ENTEROS

35

 

 

9

EJERCICIOS PROPUESTOS

36

 

 

10

LEY DE LOS SIGNOS EN LA MULTIPLICACION

37

 

 

11

EJERCICIOS RESUELTOS

37

 

 

12

MULTIPLICACION DE TRES O MAS NUMEROS ENTEROS

38

 

 

13

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROS

39

 

 

14

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA PROPIEDAD 1

40

 

 

15

EJERCICIOS  RESUELTOS  DE LA PROPIEDAD 2

41

 

 

16

EJERCICIOS  PROPUESTOS  DE LA PROPIEDAD 3

42

 

 

17

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION RESPECTO A LA SUMA

44

 

 

18

EJERCICIOS PROPUESTOS

44

 

 

19

OTRAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION

45

 

 

20

SUGERENCIAS PARA EL PROFESOR

46

 

 

 

 

 

 

VII

 

POTENCIACION DE ENTEROS Y EJERCICIOS RESUELTOS

47

 

 

 

 

 

 

 

1

LEYES DE LOS EXPONENTES

48

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA LEY  1

49

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS  PROPIEDAD 2

51

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS PROPIEDAD 3

52

 

 

5

EJERCICIOS PROPUESTOS  DE LA PROPIEDAD 4

53

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA PROPIEDAD 5

54

 

 

 

 

 

 

VIII

 

PROBLEMAS RESUELTOS DE GRAFICOS  DE NUMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMERICA DE ENTEROS.

55

 

 

 

 

 

 

IX

 

  EJERCICIOS PROPUESTOS DE PRODUCTO DE ENTEROS CON SU RESPUESTA

56

 

X

 

EL  VALOR ABSOLUTO DE NUMEROS ENTEROS

56

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO DE NUMEROS ENTEROS

57

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

LOS NUMEROS RACIONALES Y SUS PROPIEDADES

60

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVO GENERAL  Y  OBJETIVOS ESPECIFICOS A TRAVES DE ACTIVIDADES Y PROCESOS

61

 

 

 

 

61

 

 

 

 

 

 

II

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES: GENERALIDADES.

62

 

III

 

FRACCIONES COMUNES

63

 

IV

 

LAS FRACCIONES Y LA RECTA NUMERICA

71

 

V

 

OPERACIONES CON FRACCIONES:   LA SUMA

73

 

VI

 

EL PRODUCTO EN NUMEROS RACIONALES

79

 

VII

 

EL COCIENTE DE NUMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS

 

82

 

VIII

 

AUTOEVALUACIÓN

84

 

IX

 

EL  VALOR ABSOLUTO

87

 

X

 

ACTIVIDADES PARA LA CONSOLIDACION DE CONCEPTOS

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

LOS NUMEROS   RACIONALES   COMO  DECIMALES PERIODICOS.

99

 

 

 

 

 

 

I

 

LOS NUMEROS DECIMALES: OBJETIVOS  Y CONCEPTOS

99

 

II

 

LOS NUMEROS RACIONALES   Y   LOS DECIMALES PERIODICOS

100

 

 

 

 

 

 

 

1

SUMA Y RESTA DE NUMEROS  DECIMALES

100

 

 

2

PRODUCTO DE FRACCIONES DECIMALES

102

 

 

3

DIVISION DE DECIMALES

103

 

 

4

OTRA FORMA COMO EFECTUAR UNA DIVISIÓN

103

 

 

5

EJERCICIOS PROPUESTOS

105

 

 

6

CONVERSION DE FRACCIONES ORDINARIAS EN DECIMALES Y VICEVERSA

106

 

 

7

UN TEOREMA BASICO: DECIMALES PUROS Y DECIMALES MIXTOS

107

 

 

8

OBTENCION DE LAS EXPRECIONES RACIONALES

109

 

 

 

 

 

 

III

 

AUTOEVALUACION

112

 

 

 

 

 

 

IV

 

ACTIVIDADES  QUE RESPALDAN LOS OBJETIVOS

114

 

 

 

 

 

 

V

 

NOTACION CIENTIFICA

116

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

PRINCIPIOS DE LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA  Y ESPACIOS EQUIPROBABLES.

118

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVOS  Y ACTIVIDADES RELACIONALES

118

 

 

 

 

 

 

 

1

OBJETIVO GENERAL  

118

 

 

2

OBJETIVOS ESPECIFICOS A TRAVES DE ACTIVIDADES Y PROCESOS

118

 

 

3

CONCEPTOS Y ACTIVIDADES

118

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

LA  ESTADÍSTICA    Y   LAS  COMPUTADORAS

120

 

 

 

 

 

 

III

 

LOS DATOS ESTADÍSTICOS

122

 

IV

 

ESTADÍSTICA,  ORDENADORES,  LAS  HOJAS ELECTRÓNICAS  Y  LOS PAQUETES   ESTADÍSTICOS

 

 

V

 

DEFINICIÓN DE VARIABLE  Y   DE BASE DE DATOS

128

 

VI

 

DEFINICIÓN DE BASE DE DATOS

132

 

VII

 

EJEMPLOS DE BASES DE DATOS EN EL SPSS  Y  EN  EL  EXCELL

134

 

VII

 

REPRESENTACIONES GRAFICAS

136

 

 

 

 

 

 

 

1

GRAFICOS PARA VARIABLES CUALITATIVAS

137

 

 

2

GRAFICOS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS

140

 

 

 

 

 

 

VIII

 

LA  REPRESENTACIÓN  GRAFICA  DE  LAS  VARIABLES QUE    CONFORMAN     LA BASE DE DATOS

140

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IX

 

             LOS   ESPACIOS EQUIPROBABLES

153

 

 

 

 

 

 

 

1

                   REPASO DE  CONJUNTOS

153

 

 

2

OPERACIONES DE CONJUNTOS

153

 

 

3

TAMAÑO  O  CARDINAL DE UN  CONJUNTO

154

 

 

4

PERTENENCIA   E   INCLUSION

157

 

 

5

CONJUNTO UNIVERSO  O  POBLACION

159

 

 

6

OPERACIONES DE CONJUNTOS

160

 

 

7

PROBABILIDADES  Y  ESPACIOS EQUIPROBABLES

168

 

 

 

 

 

 

X

 

DEFINICIONES BASICAS

172

 

XI

 

EL  ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS (EVENTOS)

179

 

XII

 

ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD

181

 

XIII

 

ESPACIOS EQUIPROBABLES

183

 

XIV

 

REPASO DE LOS TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES

184

 

XV

 

PROBLEMAS RESUELTOS:    ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS (SUCESOS) (EVENTOS) Y ESPACIOS EQUIPROBABLES

190

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 VARIABLES, EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE

199

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVOS    

199

 

 

 

 

 

 

 

1

OBJETIVO GENERAL

199

 

 

2

OBJETIVOS ESPECIFICOS

199

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

PRINCIPIOS DE LA LOGICA Y ECUACIONES

199

 

 

 

 

 

 

 

1

ELEMENTOS DE LA LOGICA MATEMATICA

199

 

 

2

ECUACIONES CONDICIONALES  E   IDENTIDADES

207

 

 

3

ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE

209

 

 

4

  EJERCICIOS RESUELTOS

209

 

 

5

EJERCICIOS PROPUESTOS

212

 

 

6

APLICACIONES:  PROBLEMAS RESUELTOS

213

 

 

7

EJERCICIOS PROPUESTOS

219

 

 

8

AUTOEVALUACIÓN

219

 

 

9

ACTIVIDADES QUE FORTALECEN LOS OBJETIVOS DE ESTA PARTE G

220

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

RAZONES PROPORCIONALIDAD Y TANTO POR CIENTO

224

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVOS

224

 

 

 

 

 

 

 

 

OBJETIVO GENERAL  

224

 

 

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

224

 

 

 

 

 

 

II

 

RAZON Y  PROPORCIONALIDAD

225

 

 

 

 

 

 

 

1

 RAZON ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA

225

 

 

2

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE

225

 

 

3

PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS

226

 

 

4

PROPORCIONES    ARITMÉTICAS.

226

 

 

5

MEDIA ARITMÉTICA

228

 

 

6

EJERCICIOS:   HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN      PROPORCIONES ARITMETICAS

230

 

 

7

PROBLEMAS PROPUESTOS:   HALLAR EL TERMINO DESCONOCIDO

230

 

 

8

EJERCICIOS PROPUESTOS

233

 

 

9

EJERCICIOS PROPUESTOS

233

 

 

 

 

 

 

III

 

RAZONES GEOMETRICAS

234

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTE

234

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

237

 

 

3

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

238

 

 

4

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

238

 

 

5

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

238

 

 

6

HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

240

 

 

7

EJERCICIOS

241

 

 

8

EJERCICIOS PROPUESTOS

241

 

 

9

RADICACION

242

 

 

10

CALCULO DE RAIZ CUADRADA

244

 

 

11

CLASIFICACION DE PROPORCIONES GEOMETRICAS

247

 

 

12

EJERCICIOS PROPUESTOS

248

 

 

13

HALLAR EL TÉRMINO MEDIO PROPORCIONAL ENTRE DOS NÚMEROS

249

 

 

14

EJERCICIOS

249

 

 

15

HALLAR UNA CUARTA PROPORCIONAL DE TRES NÚMEROS

250

 

 

16

EJERCICIOS

250

 

 

17

HALLAR UNA TERCERA PROPORCIONAL DE DOS NÚMEROS

251

 

 

18

EJERCICIOS

251

 

 

19

MAGNITUDES PROPORCIONALES

252

 

 

20

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

253

 

 

 

 

 

 

IV

 

REGLA DE TRES

256

 

 

 

 

 

 

 

1

METODOS DE RESOLUCION

257

 

 

2

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

258

 

 

3

METODO PRÁCTICO DE LA REGLA DE TRES

258

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE LA REGLA DE TRES

260

 

 

 

 

 

 

V

 

TANTO POR CIENTO

261

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

262

 

 

2

CALCULO DEL TIPO

263

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

265

 

 

4

CALCULO DE LA BASE

266

 

 

5

EJERCICIOS PROPUESTOS

267

 

 

6

AUTOEVALUACION

268

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

ELEMENTOS DE GEOMETRIA PLANA

270

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

OBJETIVOS  

270

 

 

 

 

 

 

 

1

OBJETIVO GENERAL  

270

 

 

2

OBJETIVOS ESPECIFICOS

270

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

CONCEPTOS BASICOS  DE GEOMETRÍA

276

 

 

 

 

 

 

I

 

TERMINOS PRIMITIVOS  Y  RELACIONES

276

 

 

 

 

 

 

 

1

EL PUNTO

276

 

 

2

LA RECTA

276

 

 

3

EL PLANO

277

 

 

 

 

 

 

II

 

LA ESTRUCTURA LOGICA DE LA GEOMETRIA  

278

 

 

 

 

 

 

 

1

LA PROPOCISION

278

 

 

2

EL AXIOMA

278

 

 

3

EL TEOREMA

279

 

 

4

EL COROLARIO

279

 

 

 

 

 

 

III

 

LOS SEGMENTOS

280

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LOS SEGMENTOS

281

 

 

2

SEGMENTOS CONSECUTIVOS

282

 

 

3

LA SUMA DE SEGMENTOS Y SUS PROPIEDADES

283

 

 

4

MULTIPLICACION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

284

 

 

5

DIVISION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

286

 

 

6

PROPIEDADES DE LA DIVISION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO  NATURAL

287

 

 

 

 

 

 

IV

 

LOS  ANGULOS

288

 

 

 

 

 

 

 

1

LA MEDIDA DE ANGULOS

291

 

 

2

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

292

 

 

3

SEGMENTO Y ANGULO

293

 

 

4

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

293

 

 

5

PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS

295

 

 

6

LA  SUMA DE LOS ANGULOS  ES UNA LEY DE COMPOSICION INTERNA

298

 

 

7

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS ANGULOS

298

 

 

8

DIFERENCIA DE ANGULOS

301

 

 

9

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE ANGULOS

302

 

 

10

OTRAS DEFINICIONES Y TEOREMAS

305

 

 

 

 

 

 

V

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE ANGULOS, RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Y VARIANTES

312

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     BIBLIOGRAFIA:    LIBROS DEL IICES

 

 

 

 

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  1. INTRODUCCION

 “Economía Básica con Cálculo”  es un texto de nivelación en economía y matemática aplicada, con la intención de proporcionar  al estudiante de los elementos necesarios para que incursionen en el  Postgrado en Econometría y Finanzas[1].    Es importante considerar que los textos  de economía que se utilizan en  la educación media son libros en que la matemática aplicada brilla por su ausencia, y en vez de formar a los futuros profesionales en el área de la economía aplicada mas bien deforman tales enseñanzas.  El presente trabajo  de economía busca proporcionar a la educación media  y superior de un texto  en que se aplique la matemática a la economía en sus niveles elementales y con el apoyo de software matemático induzca el cálculo diferencial  como una herramienta o lenguaje del análisis económico.       El paquete matemático  “equation grapher[2]”  presenta esa opción educativa en que el cálculo elemental se aplica a la economía y  es utilizable para las áreas afines como las ciencias contables, administrativas y demas carreras educativas en que la economía es una de sus asignaturas.

En esta perspectiva el presente libro de economía básica con cálculo  pretende  colaborar en educación media en las carreras educativas de Administración de Empresas, Mercadotecnia, Informática, Hostelería y Turismo, Control de Calidad y otras carreras educativas.   También el presente libro pretende formar las bases para futuros estudiantes del Postgrado en Econometría y Finanzas, también se pretende que dichos libros se utilicen en la educación superior formal.   El primer libro del postgrado  se llama “Álgebra de funciones con paquetes matemáticos, el sgundo libro de nivelación es el de “Economía Básica con Cálculo.

En lo comentado anteriormente en la parte B   cubrimos los conceptos de   economía,  y algunas variables a nivel microeconómico y macroeconómico utilizando  más la intuición.  Estudiamos la economía a nivel familiar y a nivel del gobierno.  A nivel intuitivo macroeconómico descriptivo abordamos  los  concepto del PIB vía gasto, es decir, estudiamos las variables nacionales del Consumo, la inversión, las exportaciones, las importaciones, el gasto público y el gasto privado.  Los conceptos se apoyan en las estadísticas económicas del BCH  (Banco Central de Honduras en la serie 1970--2002”.

En la parte  C   estudiamos las principales divisiones de la economía   cubriendo los comentarios descriptivos y analíticos hasta llegar a las bases de la teoría económica en donde presentamos los conceptos de  modelos económicos  lineales y no lineales.

En la parte  CH  analizamos los conceptos básicos del análisis microeconómico y  macroeconómico.  A nivel macro abordamos la producción sectorial, el destino del valor agregado, el PNB (Producto Nacional Bruto), el ingreso nacional y el PIB  (Producto Interno Bruto) 

 

En la parte  D   analizamos la microeconomía y su teoría de la producción con la implementación del cálculo diferencial de manera intuitiva y apoyándonos  en el paquete matemático “EQUATION GRAPHER”   De esta manera  abordamos los análisis marginalistas que caracterizan a los escuelas marginalistas y neocásicas  (considerando que los economistas clásicos  (1750—1850) no pudieron aplicar el cálculo diferencial  a pesar que éste ya había sido descubierto en 1704  por Newton y Leibniz de manera separada)

Tuvieron que pasar 150 años para que la aplicación del cálculo en los análisis económicos  originara el anális económico marginalista  en la explicación de la teoría del valor y los precios.    En esta perpectiva  estudiamos la producción marginal del empleo, la producción marginal del capital, y las condiciones necesarias y suficientes para aplicar la maximización de la producción.  Seguidamente estudiamos  las tres etapas óptimas del proceso productivo por medio del análisis de optimización económica  sin  límites  y  con restricciones ligadas al presupuesto del productor y los precios de los factores productivos.   Es importante mencionar que analizamos la producción por medio de funciones de Kobb Douglas  y otros modelos que son cóncavos hacia abajo para garantizar el proceso de maximización.    Seguidamente analizamos la teroría de los costos dentro de la teoría de la producción  llegando a cubrir los costos fijos, costos variables, costos totales (funciones cócavas hacia arriba para garantizar la existencia del mínimo) costos promedio y costos marginales dentro del proceso productivo de la empresa, es importante considerar la minimización de los costos  dentro del proceso productivo de la maximización de las utilidades o beneficio.

En la parte  E   cubrimos  la teoría del consumidor  dentro de una perspectiva familiar mas que individual, analizamos las leyes de la preferencia, el axioma de comparaión y el axioma de la transitividad  considerando  este tipo de análisis en bastante subjetivo, sin embargo al economía del bienestar resuelve el problema de la comparación de  las funciones de utilidad familiar, sin embargo el cálculo nos permite cubrir el enfoque marginalista en la teoría del consumidor y las condiciones necesarias y suficientes para que la familia consumidora  maximice sus niveles de utiludad o satisfacción personal  dentro de un enfoque sin límites  y un enfoque con  restricciones.   El enfoque restrictivo es donde   la familia consumidora  tiene un presupuesto que restringe el consumo  considerando los precios de las canastas básicas familiares, es decir el máximo del consumidor en condiciones de restricción se da cuando la recta del presupuesto es tangente a una curva de indiferencia de lcanastas básicas de consumo familiar.

En la parte  F  segumos aplicando modelos que permitan analizar el mercado y  la determinación de los precios bajo un  concepto de competencia  y de optimización de la empresa competitiva, llegando a la optimización del monopolista.

En la parte  G  presentamos un anexo económico  en la que se brinda la historia del pendsamineto económico por medio de citas bibliográficas de la enciclopedia encarta 99  y finalmente en la parte  H presentamos la bibliografía.    

 

TABLA DE CONTENIDO DE ECONOMÍA BÁSICA CON CÁLCULO

 

 

 

 

 

 

Página

A

 

 

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

CONCEPTOS DE CONOMIA

3

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

DEFINICIÓN DE ECONOMIA

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

LA PRODUCCION

4

 

 

2

 

 

EL VALOR AGREGADO

4

 

 

3

 

 

LA DISTRIBUCION

5

 

 

4

 

 

LOS INGRESOS

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

EL CONSUMO FAMILIAR

7

 

 

 

b

 

EL AHORRO FAMILIAR

8

 

 

 

c

 

EL CONSUMO FAMILIAR Y EL AHORRO FAMILIAR

8

 

 

 

d

 

LOS COMPONENTES DEL PIB VIA GASTO

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(1)

GASTOS DE CONSUMO PRIVADO

9

 

 

 

 

d(2)

GASTOS DE CONSUMO PUBLICO

9

 

 

 

 

d(3)

LA INVERSIÓN

10

 

 

 

 

d(4)

LA VARIACIÓN DE EXISTENCIAS

11

 

 

 

 

d(5)

LAS EXPORTACIONES E IMPORTACIONES DE BIENES Y SERVICIOS

11

 

 

 

 

d(6)

LOS IMPUESTOS INDIRECTOS

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

EL SECTOR PUBLICO

12

 

 

 

f

 

EL SECTOR PRIVADO

13

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

LAS PRINCIPALES DIVISIONES DE LA ECONOMIA

14

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

LA ECONOMIA DESCRIPTIVA

14

 

II

 

 

 

LA TEORIA ECONOMICA

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

LOS AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA TEORIA ECONOMICA

16

 

 

2

 

 

BASES CONCEPTUALES DE LOS MODELOS ECONOMICOS

18

 

 

3

 

 

LOS MODELOS LINEALES

19

 

 

4

 

 

LOS MODELOS NO LINEALES

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TABLA DE CONTENIDO DE ECONOMÍA BÁSICA CON CÁLCULO

 

 

 

 

 

 

Página

CH

 

 

 

 

LA DIVISIÓN DE LA TEORIA ECONOMICA

24

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

LA MACROECONOMÍA

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

LA PRODUCCIÓN SECTORIAL

25

 

 

2

 

 

EL DESTINO DEL VALOR AGREGADO DE LA PRODUCCION

29

 

 

3

 

 

EL PRODUCTO NACIONAL BRUTO

32

 

 

4

 

 

EL INGRESO NACIONAL

33

 

 

5

 

 

EL INGRESO PERSONAL

34

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

 

 

LA MICROECONOMIA

35

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

TEORIA DE LA PRODUCCION

39

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

LOS FACTORES DE LA PRODUCCION

39

 

II

 

 

 

LAS FUNCIONES DE PRODUCCIÓN DE UNA VARIABLE

39

 

III

 

 

 

LA INTERPRETACIÓN DE LA PRODUCTIVIDAD MARGINAL DEL CAPITAL

42

 

IV

 

 

 

LOS TEOREMAS SOBRE DERIVADAS EN FUNCIONES DE UNA VARIABLE

47

 

V

 

 

 

DEDUCCIÓN DE LA PRODUCCIÓN MARGINAL DEL CAPITAL POR MEDIO DEL EQUATION GRAPHER

50

 

VI

 

 

 

LA PRODUCCIÓN EN FUNCION DEL EMPLEO Y LA PRODUCCIÓN MARGINAL DEL EMPLEO

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

LA PRODUCCIÓN PROMEDIO

58

 

 

2

 

 

LOS TRES MÁXIMOS PARA ANALIZAR LA TEORIA DE LA PRODUCCION

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

EL MÁXIMO EN LA PRODUCION Y EL PUNTO DE INFLECCION

61

 

 

 

b

 

EL PUNTO DE INFLECCION EN LA FUNCION DE PRODUCCION

64

 

 

 

c

 

EL MÁXIMO EN LA PRODUCION MARGINAL

66

 

 

 

d

 

EL MÁXIMO EN LA PRODUCION PROMEDIO

68

 

 

 

e

 

LA PRODUCCIÓN MARGINAL DEL EMPLEO Y EL MÁXIMO EN LA PRODUCCIÓN PROMEDIO

69

 

 

3

 

 

LAS TRES ETAPAS DE LA PRODUCCION

70

 

 

4

 

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

71

 

 

TABLA DE CONTENIDO DE ECONOMÍA BÁSICA CON CÁLCULO

 

 

 

 

Página

 

VII

 

FUNCIONES DE PRODUCCIÓN DE KOBB DOUGLAS

74

 

 

 

 

 

 

 

1

LA REGLA DE LA CADENA

76

 

 

2

LA ELASTICIDAD DE LAS FUNCIONES DE KOBB DOUGLAS

78

 

 

3

LOS RENDIMIENTOS EN LA PRODUCCION

81

 

 

 

 

 

 

VIII

 

FUNCIONES DE PRODUCCIÓN DE KOBB DOUGLAS EN RELACION AL CAPITAL Y DEL EMPLEO

82

 

IX

 

LA MAXIMIZACIÓN DE LA PRODUCCIÓN EN FUNCIONES DE KOBB DOUGLAS RESPECTO AL CAPITAL Y EL EMPLEO CON RESTRICCIONES  DEL PRESUPUESTO

86

 

X

 

LAS FUNCIONES DE PRODUCCIÓN DE KOBB DOUGLAS DE CUATRO VARIABLES

91

 

XI

 

LOS COSTOS EN LA PRODUCCION

92

 

 

 

 

 

E

 

 

TEORIA DEL CONSUMIDOR

97

 

 

 

 

 

 

I

 

EL CONSUMIDOR RACIONAL

97

 

 

 

 

 

 

 

1

EL AHORRO FAMILIAR

98

 

 

2

EL CONSUMO FAMILIAR

98

 

 

3

EL CONSUMO FAMILIAR Y EL AHORRO FAMILIAR

99

 

 

 

 

 

 

II

 

LAS LEYES DE LA PREFERENCIA

100

 

 

 

 

 

 

 

1

AXIOMA DE COMPARACION

100

 

 

2

AXIOMA DE TRANSITIVIDAD

100

 

 

 

 

 

 

III

 

LA FUNCION DE UTILIDAD  O  DE  SATISFACCIÓN DE LA FAMILIA

101

 

IV

 

EL MÁXIMO EN LA UTILIDAD FAMILIAR CON RESTRICCIONES

104

 

 

1

LA RECTA DEL PRESUPUESTO FAMILIAR

105

 

 

2

EL MÁXIMO EN LA FUNCION DE UTILIDAD

107

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TABLA DE CONTENIDO DE ECONOMÍA BÁSICA CON CÁLCULO

 

 

 

 

 

 

Página

F

 

 

 

 

EL MERCADO

110

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

ELEMENTOS BASICOS

110

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

LA DETERMINACIÓN DE LOS PRECIOS

113

 

 

 

 

 

 

 

 

II

 

 

 

EL  OPTIMO EN LA EMPRESA COMPETITIVA

119

 

III

 

 

 

LA MÁXIMA UTILIDAD EN EL MONOPOLIO

128

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

 

ANEXO ECONOMICO

134

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

HISTORIA DEL PENSAMIENTO ECONOMICO

134

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

 

BIBLIOGRAFIA

142

 

 

 

 

[1] La quinta edición con el nombre de “Postgrado Centroamericano en Estadística y Econometría Aplicada”, la  sexta edición correspondiente al 2005 con el nombre de “Postgrado en Econometría y Finanzas”.   Libros del IICEF y Autor José Salomón Perdomo Mejía.

[2] Es un software al alcance de los estudiantes y tiene un valor de 30 dólares en el mercado de Internet.  ES fácil y cómodo de utilizar.

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ARITMETICA DEL MERCADO DE VALORES

A                                           INTRODUCCION.

 La primera edición de  "Métodos cuantitativos en el Mercado de Valores" fué en enero del 1993 y hemos querido contribuir con el Sistema Educativo Financiero Nacional, en los temas bursátiles, los conocimientos básicos para poder comprender el funcionamiento de la bolsa, e intentar desarrollar las técnicas precisas para invertir correctamente en bolsa.  Vale mencionar que la bolsa es cada vez un elemento imprescindible para el normal funcionamiento del Sistema Financiero Nacional.

 El financiamiento que genera la Bolsa de valores a través de los títulos valores para las empresas inscritas en ella, se constituyen en un importante recurso complementario para inversión, generada por el sistema financiero bancario.  Con el esquema de privatización, y las leyes de inversión, modernización financiera y ajustes al sistema judicial nacional, la inversión extranjera participará en mayores niveles permitiendo en términos macroeconómicos que la inversión privada total considerando que el año 2003 esta variable alcanzó los niveles mas bajos en los últimos 25 años  de inversión respecto al PIB.    La nueva estructura de la Bolsa de valores después del desastre generado a finales del milenio pasado  y  principios del nuevo milenio.   La inversión privada es inestable y se requiere de una amplia reforma que permita compatibilizar los productos financieros del exterior con los productos financieros nacionales además de consolidarse el sistema jurídico nacional, sólo de esta manera es posible que se  recupere  los niveles adquiridos en el pasado y permita en consecuencia un importante crecimiento económico que beneficiaría a la población nacional en la generación de empleo e ingresos; en términos microeconómicos la inversión privada impulsada por el mercado de valores permitirá un mejor ajuste del proceso ahorro-inversión en beneficio del sistema productivo nacional hacia la reconversión industrial.

 En los capítulos de este texto se trata de resolver la problemática de la valuación  para las inversiones en el mercado de dinero y en el mercado de valores, ninguno de estos métodos de valuación se constituye en una receta infalible, sin embargo los modelos financieros deterministas propuestos tienen la intención de producir ideas y determinar rangos o intervalos de negociación para que, a falta de otra opción, se pueda calcular los precios justos del Mercado Financiero: el Mercado del Dinero y el Mercado de Capitales.

 "Métodos cuantitativos del Mercado de Valores" hoy con el titulo de “ARITMETICA DEL MERCADO DE VALORES”; se adecúa a la notación computacional, en sus operaciones numéricas para ser aplicado en calculadoras financieras como la CASIO, CANON, u otras de igual calidad o mas avanzadas, así también, con las computadoras IBM o compatibles con  hojas electrónicas como el   QUATTRO PRO  y el EXCELL.     En esta nueva edición  "Métodos Cuantitativos del Mercado de Valores", en la parte B  presentamos los conceptos básicos de finanzas abordando el concepto de mercado financiero y sus divisiones del mercado de dinero y mercado de capitales.

 En la parte C, continuamos  con los conceptos formales, funcionales y generales de la BOLSA, así como las ventajas y desventajas para las empresas que cotizan en ese Mercado de Valores, seguidamente se abordan los conceptos de los Mercados Primario y Secundario hasta cubrir el comportamiento histórico, de la Bolsa de Valores de Honduras; aqui se presentan los aspectos legales y normas relativas al funcionamiento, organización y administración de la Bolsa de Valores; así como los requisitos para establecer un Puesto de Bolsa y los aspectos legales de las operaciones y corredores de Bolsa.

En la parte CH  abordamos las definiciones de los productos financieros, los títulos valores que presenta  “el Código del Comercio de Honduras” y los títulos valores que define la Bolsa de Valores de Honduras.  En la parte  D  se vuelve a estudiar la cuantificación del Mercado Financiero iniciada en el libro “ARITMETICA DEL MERCADO DE VALORES”   Método Cuantitativos en el Mercado Financiero,  extendida especialmente al  Mercado de Valores; de esta manera se presentan métodos para determinar el precio de la obligaciones al finalizar el período de cupón, y entre períodos de cupones, en este segundo caso se cubren 3 métodos:  el precio efectivo de una obligación en el caso aproximado y el exacto;  el precio con interés con sus variantes aproximado y exacto; y   el método del descuento racional en los casos de precio efectivo y precio con interés; al final de esta sección se presentan los ejercicios para medir el nivel de aprendizaje.  Seguidamente se estudia la determinación de precios para los bonos seriados, bonos de anualidad y los bonos con fecha opcional de redención, con los ejercicios ejemplo y de evaluación.

 En la parte  E  y  F   se cubren  los modelos para cuantificar la rentabilidad de las inversiones en títulos-valores.  En la parte E ,  se estudian los conceptos del costo de oportunidad en general y el costo de oportunidad del dinero como un elemento base en los métodos de rentabilidad entre ellos:  el método aproximado al vencimiento,  el método ponderado,   el método lineal, y   el método TIS  (Tasa de interés Simple), todos ellos con sus ejercicios ejemplo y de evaluación.  En la parte  F, se cubre los métodos dinámicos de la evaluación financiera de inversiones en títulos-valores, entre ellos:   el Valor  Presente  Neto  (VPN),  la relación Beneficio/Costo, y  la Tasa Interna de Retorno (TIR), todos estos casos con ejercicios ejemplo y de evaluación para medir el nivel de aprendizaje de los participantes y lectores.

 En la parte  G, se introducen algunos elementos para medir la rentabilidad y capacidad de endeudamiento de las empresas que cotizan en Bolsa, (se extiende a todas las demás empresas); se cuantifican los ingresos que generan las acciones y se cubren los índices bursátiles.  

 En la parte H  presentamos la  Bibliografía.   La nueva edición del 25 de noviembre del 2008,   la matemática financiera elemental se cubre con aplicaciones en el EXCELL  y se añaden  elementos teóricos de economía, finanzas  con modelos contables para evaluar el impacto de las obligaciones y/o acciones  en los indicadores de rentabilidad de una empresa que cotiza en Bolsa.

 Agradezco a “DIOS PADRE NUESTRO CREADOR” la oportunidad de poder escribir este texto y los cuarenta libros restantes de matematica, economía, finanzas, proyectos, estadistica, econometría y otros de economía aplicada.   

 

TABLA DE CONTENIDO  DE  FINANZAS  Y  LA  ARITMETICA DEL MERCADO DE VALORES

 

 

 

 

 

 

 

 

Página

A

 

 

 

INTRODUCCIÓN

1

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

CONCEPTOS BASICOS

3

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

FINANZAS

3

 

II

 

 

MERCADO

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

MERCADO FINANCIERO

5

 

 

2

 

EL MERCADO DEL DINERO

6

 

 

3

 

EL MERCADO DE CAPITALES

8

 

 

4

 

EL PROCESO AHORRO INVERSION

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

LA BOLSA DE VALORES

15

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

CONCEPTOS GENERALES Y OBJETIVOS

16

 

II

 

 

LAS FUNCIONES Y OBJETIVOS DE UNA BOLSA.

16

 

III

 

 

VENTAJAS PARA LAS EMPRESAS INSCRITAS EN LA BOLSA

16

 

IV

 

 

DESVENTAJAS PARA CIERTAS EMPRESAS QUE COTIZAN EN BOLSA.

17

 

V

 

 

EL  MERCADO  PRIMARIO.

17

 

VI

 

 

EL MERCADO SECUNDARIO.

18

 

VII

 

 

LA BOLSA DE VALORES EN HONDURAS.

18

 

VIII

 

 

MARCO LEGAL E INSTITUCIONAL DE LA BOLSA DE VALORES.

16

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

PROCEDIMIENTO PARA LA CONSTITUCION Y

AUTORIZACION DE UNA BOLSA DE VALORES

20

 

 

2

 

NORMAS RELATIVAS AL FUNCIONAMIENTO, ORGANIZACION Y ADMINISTRACION DE LA BOLSA DE VALORES.

21

 

 

3

 

REQUISITOS PARA ESTABLECER UN PUESTO DE BOLSA Y LOS AGENTES   CORREDORES.

22

 

 

4

 

LAS OPERACIONES EN BOLSA.

24

 

 

 

 

 

 

 

IX

 

 

LAS BOLSAS DE VALORES INTERNACIONALES 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

FORMAS DEL MERCADO PRIMARIO PARA COLOCAR ACTIVOS

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

HISTORIA DE LA BOLSA

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CH

 

 

 

CONCEPTOS BÁSICOS ACERCA DE LOS PRODUCTOS FINANCIEROS

31

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

DEFINICION  DE LOS TITULOS VALORES

31

 

II

 

 

CLASIFICACION DE LOS TITULOS-VALORES POR SU LEY DE CIRCULACION

32

 

 

`

 

 

 

 

 

1

 

TITULOS NOMINATIVOS

32

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

TITULOS A LA ORDEN

32

 

 

3

 

LOS TITULOS AL PORTADOR

33

 

 

 

 

 

 

 

III

 

 

CLASIFICACION DE LOS TITULOS VALORES SEGÚN LA RENTA

33

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LOS TITULOS DE RENTA FIJA

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

LOS BONOS

34

 

 

 

b

EL PAGARE BURSATIL

38

 

 

 

c

LOS CERTIFICADOS DE INVERSION

42

 

 

 

ch

EL  REPORTO

43

 

 

 

d

LOS CERTIFICADOS DE DEPOSITO

44

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

LOS TITULOS DE RENTA VARIABLE

46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

LAS ACCIONES COMUNES

47

 

 

 

b

LAS ACCIONES PREFERENTES

48

 

 

 

c

LOS CERTIFICADOS DE APORTACIÓN PATRIMONIAL

49

 

 

 

ch

OTROS CONCEPTOS RELACIONADOS

50

 

 

 

d

NEGOCIO

51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

OTROS  PRODUCTOS FINANCIEROS

51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

LA LETRA DE CAMBIO

51

 

 

 

b

LAS ACEPTACIONES BANCARIAS

51

 

 

 

c

OTROS PRODUCTOS FINANCIEROS PARA EL CORTO PLAZO

52

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

LOS BONOS Y OTRAS OBLIGACIONES

53

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

COMENTARIOS

53

 

II

 

 

VARIABLES A UTILIZAR

53

 

III

 

 

PRECIO DEL BONO SEGÚN LA FECHA DE CUPON

54

 

IV

 

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

56

 

V

 

 

TABLAS DE VALOR DE UN BONO EN LOS LIBROS

57

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

59

 

 

 

 

 

 

 

VI

 

 

CALCULO DEL PRECIO DE UN BONO, ENTRE PERIODOS DE CUPONES

60

 

 

1

 

EL PRECIO EFECTIVO

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

METODO APROXIMADO

61

 

 

 

b

EJERCICIOS DE EVALUACION

63

 

 

 

c

METODO EXACTO

64

 

 

 

ch

EJERCICIOS DE EVALUACION

66

 

 

 

 

 

 

 

VII

 

 

EL COSTO DE UN TITULO VALOR EN EL MERCADO SECUNDARIO

66

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

69

 

 

 

 

 

 

 

VIII

 

 

BONOS SERIADOS

69

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

72

 

 

 

 

 

 

 

IX

 

 

BONOS DE ANUALIDAD

73

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

73

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

METODOS PARA EVALUAR RENDIMIENTOS DE OBLIGACIONES

74

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

INTRODUCCION

74

 

II

 

 

EL COSTO DE OPORTUNIDAD

74

 

III

 

 

METODO DE HIGHLAN Y ROSEBAUM

75

 

IV

 

 

METODO PONDERADO

76

 

V

 

 

METODO TIS  (TASA DE INTERES SIMPLE)

78

 

VI

 

 

EJERCICIOS DE EVALUCION DEL TIS

81

 

VII

 

 

METODO DEL DESCUENTO RACIONAL O MATEMATICO

82

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EL DESCUENTO RACIONAL A PRECIO EFECTIVO

82

 

 

2

 

EL DESCUENTO RACIONAL A PRECIO CON INTERES

84

 

 

3

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

86

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VIII

 

 

METODO LINEAL

87

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EJERCICIOS DE EVALUCION

89

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

METODOS DINAMICOS PARA EVALUAR INVERSIONES

90

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

COMENTARIOS

90

 

II

 

 

EL VALOR PRESENTE NETO   (VPN)

90

 

III

 

 

LA RELACION BENEFICIO COSTO

95

 

IV

 

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

95

 

V

 

 

L A  TASA INTERNA DE RETORNO   (TIR)

96

 

VI

 

 

EJERCICIOS RESUELTOS MEDIANTE HOJAS ELECTRONICAS

98

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

LAS ACCIONES Y LAS RAZONES BURSATILES

101

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

CONCEPTOS SOBRE CONTABILIDAD

101

 

 

 

 

 

 

 

II

 

 

LAS ACCIONES Y LAS RAZONES BURSATILES

109

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ALGUNOS INDICADORES DE LA RENTABILIDAD DE LAS EMPRESAS QUE CONTIZAN EN BOLSA

109

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

LA RAZON CIRCULANTE

111

 

 

 

b

LA PRUEBA DE ACIDO

112

 

 

 

c

EL RENDIMIENTO SOBRE LA INVERSION

112

 

 

 

ch

EL RENDIMIENTO SOBRE LOS ACTIVOS

113

 

 

 

d

LA RAZON DE ENDEUDAMIENTO

113

 

 

 

e

LA RAZON DE GASTOS FINANCIEROS

114

 

 

 

f

LA ROTACIÓN DE INVENTARIOS

114

 

 

 

g

RAZON DE INVENTARIOS A CAPITAL DE TRABAJO

115

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

LOS DIVIDENDOS EN LAS ACCIONES

115

 

 

3

 

LAS RAZONES BURSATILES

116

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

EL RENDIMIENTO DE LAS ACCIONES

116

 

 

 

b

EL VALOR CONTABLE DE UNA ACCION

117

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

ANEXO  I :   EL CAPITAL

 

 

119

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

TEORÍAS DEL CAPITAL

120

 

II

 

 

HISTORIA DEL CAPITAL

121

 

III

 

 

LAS SOCIEDADES MERCANTILES

122

 

IV

 

 

LA SOCIEDAD ANONIMA

123

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

ANEXO II           LA FORMACION  DE LA EMPRESA:  ASPECTOS JURIDICOS

138

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

BIBLIOGRAFIA.

157

 

 

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INTRODUCCION.

El Sistema Financiero hondureño está formado por un grupo de empresas que se encargan de  generar, recoger, administrar y dirigir, el ahorro y la inversión; el sistema está controlado por la legislación  [ ley de establecimientos bancarios, ley del Banco Central de Honduras (BCH), el código del comercio, reglamentos internos de las mismas instituciones y la modernización financiera que incorpora a la Comisión Nacional de Banca y Seguros (CNBS) independiente del BCH].  Estas leyes  regula sus transacciones de activos financieros y por los instrumentos,  procesos, que permiten la transferencia de esos activos entre unidades superavitarias o  ahorrantes, y las  deficitarias o demandantes de crédito.          

En el sentido anterior; las actividades del mundo financiero descansan en la costumbre de pagar cierta cantidad de dinero por el uso de un capital prestado.  La mayor parte de los ingresos de las empresas financieras se deriva de los intereses sobre préstamos o de retorno de utilidades por inversiones; de la anterior proposición se deduce que el principal rubro de activo de las instituciones financieras está formada por su cartera de créditos, un segundo rubro de gran importancia lo constituye la cartera de inversiones.

 En los capítulos de este texto se trata de presentar las bases cuantitativas preliminares y avanzadas para abordar la solución de problemas acerca de la valuación de inversiones en el corto, mediano y largo plazo; los modelos deterministas propuestos o métodos cuantitativos utilizados no se constituyen en recetas de cocina; sin embargo estos modelos financieros tienen la intención de producir ideas para que, a falta de otra opción, se pueda calcular los precios justos del Mercado Financiero, esto es: en el Mercado del dinero (corto plazo) y en el Mercado de Capitales (transacciones de activos financieros en el mediano y largo plazo).

 En general todas las operaciones comerciales y financieras estan relacionadas con los réditos sobre los capitales invertidos.

Toda persona o empresa que obtiene un préstamo en el sistema financiero nacional queda obligada a pagar un o una serie de réditos (renta o series de intereses de un capital) por el uso del dinero tomado en préstamo; el dinero genera dinero, acumulando valores que varían en el tiempo.   Presentamos análisis  con las aplicaciones de las tasas de interés real  con las aplicaciones de diversos indices de precios,  llegando al análisis de las series de tiempo del IPC  (Indice de Precios al Consumidor)  en las region norte y a nivel nacional.  Debido a la importancia de la inflación externa cubrimos la inflación generada por los precios de los productos importables y de los productos exportables y las relaciones de los términos de intercambio.   Pero al estudiar la matemática financiera también debemos estudiar conceptos básicos de las finanzas  por lo que estudiamos también los títulos valores del sistema  bancario y los demás productos financieros transados en los mercados financieros de Honduras.      

 

De la manera anterior se  presentan los libros en modelos financieros deterministas, así el presente  libro   "Métodos Cuantitativos del Mercado Financiero" con un Segundo título “MATEMATICA FINANCIERA BASICA CON INDICES DE PRECIOS Y ELEMENTOS DE FINANZAS”, se establecen las bases en cálculos financieros, hacia el abordaje de los modelos financieros en títulos valores que representa el libro  "Métodos cuantitativos del Mercado de Valores"; ambos libros, se adecúan a la notación computacional,  un tercer libro compatible es “LOS MERCADOS FINANCIEROS CON MODELOS DE ECONOMETRIA”

 

El Libro "Métodos Cuantitativos del Mercado financiero", está dirigido a los técnicos o profesionales con grado de educación media o educación superior, interesados en complementar sus conocimientos financieros usando como herramientas a las calculadoras financieras o computadoras con aplicaciones del Excell y el Quattro Pro..

En esa perspectiva, el presente libro "Métodos Cuantitativos  del Mercado Financiero" en la parte B II, se establecen las bases cuantitativas de las operaciones financieras a través de la deducción y aplicación del interés simple y el descuento bancario, en donde se realizan cálculos aplicados a créditos y ahorros a corto plazo y mediano plazo a través, del cálculo del Interés simple, el monto a interés simple; del valor actual, del cálculo del tiempo, cáculo de la tasa de interés simple; del descuento bancario; los pagarés comerciales; las comisiones y descuentos comerciales, y las ecuaciones equivalentes; se presentan ejercicios resueltos o ejercicios ejemplos, y ejercicios para evaluar el aprendizaje de los participantes aplicando ya sea alguna calculadora financiera, una calculadora con sus funciones básicas, o una computadora compatible con sus hojas de trabajo antes mencionadas.

 En la parte C se deduce y se aplica el interés compuesto en lo relacionado a la capitalización y actualización de créditos y ahorros en el corto plazo y largo plazo; de este manera se realizan operaciones numéricas en lo referente al monto a interés compuesto, la relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva; el cálculo del tiempo, del interés compuesto, del valor actual; aplicaciones del interés compuesto al crecimiento de los activos, pasivos y capital de una empresa e institución financiera.  Se presentan ejercicios resueltos a nivel de ejemplos, y ejercicios para evaluar el aprendizaje de los participantes o lectores, siempre con la utilización de una calculadora financiera o una computadora y hojas electrónicas antes mencionadas.

 En la parte  CH se deduce la fórmulas de las anualidades en lo referente a las anualidades vencidas, anticipadas, diferidas, se aplican a problemas relacionados a depósitos a plazo fijo, y se realizan cálculos el monto y el valor actual de estas anualidades y de la renta, así como el tiempo; se presentan ejercicios resueltos como ejemplos, y ejercicios de evaluación

 En la parte  D  se introduce el concepto de la amortización, se realizan cálculos sobre el saldo insoluto de una deuda y se presentan ejercicios resueltos a nivel de ejemplos y ejercicios de evaluación;  se elaboran tablas de amortización.  Se aplican las rentas perpetuas anticipadas y al vencimiento  cubriéndose la  capitalización de las rentas perpetuas  desagregando, y se aplican a problemas de depósitos a Bancos para instituciones con fines de beneficiencia; se realizan cálculos del valor actual, de la tasa de interés, de la renta perpetua, del valor actual de las rentas perpetuas anticipadas, del valor actual al final de períodos de capitalización; se abordan aplicaciones y cálculos de la capitalización de las rentas perpetuas como son, los costos capitalizados y los costos equivalentes como un método importante para hacer análisis para la maquinaria en la implantación de la reconversión industrial para una empresa productiva.

 En los temas anteriores se aplican los modelos financieros deterministas cuando no hay inflación, de esta manera en la parte  E   se abordan los indices de precios y de cantidad,  de esta manera se inicia con la tasa de interés real o tasa actuarial  y  se realizan cálculos para obtener tasas de interés reales positivas, negativas y nulas, con su respectiva interpretación de ganancia real y pérdida real del inversionista a los temas vistos con anterioridad, esto es problemas de interés simple, interés compuesto, anualidades.  Se presentan problemas de evaluación para medir el grado de aprendizaje de los participantes o lectores, se recomienda seguir aplicando alguna calculadora financiera o computadoras con sus hojas electrónicas antes mencionadas como herramientas de enseñanza.  Seguidamente se presentan los índices de precios de LASPEYRES y PAASCHE para cuantificar la inflación; al respecto se presentan ejercicios resueltos a nivel de ejemplos y ejercicios de evaluación.   Seguidamente presentamos los indices de precios del comercio internacional esto es, los índoces de precios de las importaciones (IPM) y los indices de precios de las exportaciones (IPX) analizando las relaciones de los terminos de intercambio  y los efectos en las relaciones del intercambio, en esta parte se presentan series de tiempo del BCH (Banco Central de Honduras)  En las aplicaciones de los indices de precios  en la parte  F   cubrimos el  Indice de precios  al consumidor (IPC)  en la serie 1980—2001  y sus traslaciones a otras bases de precios ents es 1980.  1990  y el año base 2001.    Analizamos la inflación en los minicipios de la Ceiba y de San Pedro Sula (Zona Norte) y a nivel nacional.      Pero en el estudio y las aplicaciones del IPC   se rquiere información metodológica y de los análisis del BCH  presentamos la metodología y aplicaciones del IPC  en la parte  G

 Y en la parte H  cubrimos los las definiciones formales y los aspectos legales de los títulos-valores que se están usando y que se utilizarán en un futuro no muy lejano, en el Mercado de Valores de Honduras.   Presentamos algunos conceptos de los  productos financieros que se trazan en la bolsa de valores  (cuasi títulos) y los títulos valores respaldados por el Código del Comercio de Honduras.   Al respecto el Lector deberá revisar el texto “LOS MERCADOS FINANCIEROS CON MODELOS DE ECONOMETRIA” dentro de la colección de libros  “POSTGRADO EN ECONOMETRIA Y FINANZAS” presentados en el CD  del mismo nombre.

  En la parte  I  presentamos un anexo económico obtenido de la Enciclopedia Encarta 99. y en la parte  J  presentamos la bibliografía del texto.

   

 

 

 

 

 

Página

A

 

 

 

INTRODUCCIÓN

1

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

EL INTERES SIMPLE Y EL DESCUENTO BANCARIO

4

 

I

 

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

4

 

II

 

 

EL INTERES

4

 

III

 

 

EL CAPITAL MAS INTERESES

7

 

IV

 

 

EL VALOR ACTUAL O PRESENTE DE UNA DEUDA

10

 

V

 

 

CALCULO DE LA TASA DE INTERES

12

 

VI

 

 

CALCULO DEL TIEMPO

13

 

 

1

 

CALCULO DEL TIEMPO SI SE CONOCE EL INTERES SIMPLE

15

 

VII

 

 

EL DESCUENTO BANCARIO Y LOS  PAGARES

15

 

 

1

 

EL DESCUENTO BANCARIO

16

 

 

2

 

LAS COMISIONES

22

 

 

3

 

LOS DESCUENTOS COMERCIALES

22

 

 

4

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE EL DESCUENTO BANCARIO

23

 

 

5

 

OTROS EJEMPLOS

24

 

 

6

 

EJERCICIOS PARA EVALUACION

25

 

 

7

 

LAS ECUACIONES EQUIVALENTES

26

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

EL INTERES COMPUESTO

27

 

I

 

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

27

 

II

 

 

EL INTERES COMPUESTO

27

 

III

 

 

LA TASA NOMINAL Y LA TASA EFECTIVA

32

 

IV

 

 

CALCULO DEL TIEMPO

34

 

V

 

 

ACTUALIZACION

35

 

VI

 

 

ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES

36

 

VII

 

 

LA OBTENCIÓN DE LA TASA DE INTERES NOMINAL

37

 

VIII

 

 

APLICACIONES DEL INTERES COMPUESTO

39

 

 

 

 

 

 

CH

 

 

 

LAS ANUALIDADES

40

 

I

 

 

OBJETIVOS ESPECIFICOS

40

 

II

 

 

COMENTARIOS SOBRE LAS ANUALIDADES

40

 

III

 

 

CALCULO DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD

41

 

IV

 

 

VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD

44

 

V

 

 

CALCULO DE LA RENTA DE UNA ANUALIDAD

47

 

VI

 

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

49

 

VII

 

 

CALCULO DEL TIEMPO EN EL MONTO DE UNA ANUALIDAD

50

 

VIII

 

 

CALCULO DEL TIEMPO EN EL VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD

50

 

IX

 

 

ANUALIDADES ANTICIPADAS Y EL CALCULO DEL MONTO

51

 

X

 

 

CALCULO DEL VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

53

 

XI

 

 

ANUALIDADES DIFERIDAS

54

 

XII

 

 

CALCULO DEL VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA

55

 

XIII

 

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

56

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

LA AMORTIZACIÓN

58

 

I

 

 

COMENTARIOS

58

 

II

 

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

59

 

III

 

 

CALCULO DEL SALDO INSOLUTO

59

 

IV

 

 

LAS RENTAS PERPETUAS Y SUS APLICACIONES

61

 

 

1

 

COMENTARIOS

61

 

 

2

 

CALCULO DEL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA

61

 

 

3

 

CALCULO DE LA TASA DE INTERES

62

 

 

4

 

CALCULO DE LA RENTA PERPETUA

63

 

 

5

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

63

 

 

6

 

VALOR ACTUAL DE LAS RENTAS PERPETUAS ANTICIPADAS

64

 

 

7

 

VALOR ACTUAL DE LAS RENTAS PERPETUAS  A PAGAR AL FINAL DE CIERTOS PERIODOS DE CAPITALIZACION

65

 

 

8

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

66

 

 

9

 

LA CAPITALIZACIÓN EN LAS RENTAS PERPETUAS

66

 

 

 

a

LOS COSTOS CAPITALIZADOS

66

 

 

 

b

EJERCICIOS DE EVALUACION

68

 

 

 

c

LOS COSTOS EQUIVALENTES

68

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

LOS INDICES DE PRECIOS Y DE CANTIDAD

70

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

LA TASA DE INTERES REAL O TASA ACTUARIAL

70

 

II

 

 

 NUMEROS  INDICES  SIMPLES

74

 

III

 

 

 NUMEROS INDICES COMPUESTOS

79

 

IV

 

 

EJERCICIOS RESUELTOS

81

 

V

 

 

APLICACIÓN DE LOS NUMEROS INDICES

84

 

 

 

 

 

 

 

Página

 

VI

 

 

APLICACIONES DE LOS INDICES DE LASPEYRES Y DE PASSHE

88

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LA INFLACION DE LOS PRECIOS DE IMPORTACION Y PRECIOS DE EXPORTACION

92

 

 

2

 

LA INFLACION  PROMEDIO DE LOS PRECIOS DE EXPORTACION Y LOS PRECIOS DE IMPORTACION

94

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

INDICES DE PRECIOS AL CONSUMIDOR   (IPC) SAN PEDRO SULA.     AÑOS BASES   1980, 1990   Y    2001

95

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

LA METODOLOGÍA DE TRASLACIÓN  DE LOS INDICES  DE   PRECIOS AL CONSUMIDOR (IPC)   PARA  SAN PEDRO   SULA   BASE   1980, 1990   Y    2001

95

 

II

 

 

EL   IPC   BASE  1990  PARA  LA  CEIBA Y SAN PEDRO SULA  Y  A  NIVEL NACIONAL 

100

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

LA  METODOLOGÍA DEL BANCO CENTRAL DE HONDURAS  (BCH)   SOBRE  LA  ELABORACIÓN  DE LOS INDICES DE PRECIOS AL CONSUMIDOR

102

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

COMENTARIOS

102

 

 

 

 

 

 

 

II

 

 

CONCEPTUALIZACIÓN Y CARACTERÍSTICAS METODOLÓGICAS  

102

 

III

 

 

LOS  ALCANCES DEL IPC

103

 

IV

 

 

LA ELABORACIÓN DEL IPC 

103

 

V

 

 

EL CAMBIO DE BASE  DEL   IPC

104

 

VI

 

 

  LAS  APLICACIONES  DEL  IPC

105

 

VII

 

 

LA EXPERIENCIA DE HONDURAS CON EL CÁLCULO DEL IPC

105

 

VIII

 

 

RECOMENDACIONES DE LOS  ORGANISMOS INTERNACIONALES   CON RESPECTO AL IPC

105

 

IX

 

 

CONCEPTUALIZACION

107

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

UN EJEMPLO DE  CALCULO DEL INDICE DE PRECIOS POR EXPORTACIONES

110

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Página

H

 

 

 

CONCEPTOS DE FINANZAS

120

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

DEFINICIÓN  DE  TITULOS VALORES

 

 

II

 

 

CLASIFICACION DE LOS TITULOS VALORES POR SU LEY DE CIRCULACION

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LOS TITULOS NOMINATIVOS

 

 

 

2

 

LOS TITULOS A LA ORDEN

 

 

 

3

 

LOS TITULOS AL PORTADOR

 

 

 

 

 

 

 

 

III

 

 

CLASIFICACION DE LOS TITULOS VALORES SEGÚN SU RENTA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LOS TITULOS DE RENTA FIJA

 

 

 

 

a

LOS BONOS

 

 

 

 

b

EL PAGARE BURSATIL

 

 

 

 

c

LOS CERTIFICADOS DE INVERSION

 

 

 

 

ch

EL REPORTO

 

 

 

 

d

LOS CERTIFICADOS DE DEPOSITO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

LOS TITULOS DE RENTA VARIABLE

 

 

 

 

a

LAS ACCIONES COMUNES

 

 

 

 

b

LAS ACCIONES PREFERENTES

 

 

 

 

c

LOS CERTIFICADOS DE APORTACIÓN PATRIMONIAL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

OTROS TITULOS VALORES

 

 

 

 

a

LAS LETRAS DE CAMBIO

 

 

 

 

b

LAS ACEPTACIONES BANCARIAS

 

 

 

 

c

OTROS VALORES

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

ANEXO DE ECONOMIA Y FINANZAS

135

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

BIBLIOGRAFIA

147

 

 

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INTRODUCCIÓN.    

 El presente libro es de la octava carpeta del “POSTGRADO EN MATEMATICA APLICADA A LA ECONOMIA Y FINANZAS” que el IICES está desarrollando con varias Universidades e Institutos Educativos   de Educación Superior.  Es la nueva edición del 14 de julio del 2005.  Y un punto de partida lo constituye “LAS VARIABLES Y LAS BASES DE DATOS”, porque la mayoría de los libros del Postgrado requieren de tales conceptos fundamentales.   A nivel de educación media y educación superior, existe el problema de que la estadística, la computación y la investigación se enseñan de manera   separadas  y  aisladas,  por  aspectos  de  tecnología educativa  y por los deficientes  diseños  curriculares de las carreras educativas respectivas.   Tal debilidad se desprende del hecho de que la tecnología   computarizada ha evolucionado mas rápidamente que las asignaturas de estadística e investigación.   En esta perspectiva seguiremos intentando integrar estos tres importantes conceptos.     

 Además  el  presente trabajo, ha surgido de la necesidad de contar con un libro de texto que facilitara el proceso de enseñanza aprendizaje sobre temas de estadística aplicada a las ciencias sociales y ciencias exactas  a través del uso de los paquetes estadísticos.  En la era de las computadoras, en donde las estructuras de bases de datos o sistemas de información han evolucionado para mejorar la toma de decisiones, es razonable que la educación se transforme de acuerdo a la nueva tecnología computarizada existente en beneficio del sistema productivo de Honduras y Centro América.  En este sentido los paquetes estadísticos deben de incorporarse al proceso educativo nacional desde el séptimo grado  en adelante.     En las diversas investigaciones sobre mercadotecnia, físicas, químicas, médicas, políticas, económicas, médicas, biológicas, etc., se presenta el interesante problema de convertir un instrumento de medición (cuestionario de la encuesta en las ciencias sociales) a una base de datos que pueda ser procesada a través de un paquete estadístico.  En la perspectiva anterior el presente libro, a través de varios ejemplos prácticos, sobre:   1. investigaciones en finanzas rurales[1] llevada a cabo por el PRODEPAH  (PROyecto para el DEsarrollo de Políticas Agrícolas de Honduras),  Investigaciones de las finanzas municipales e investigaciones sobre economía y finanzas internacionales e investigaciones sobre los mercados financieros, y de aritmética financiera;  pretende dar algoritmos que permitan al lector convertir un cuestionario y sus respuestas en una base de datos, además de permitir al Lector a construir otras bases de datos macroeconómicas o microeconómicas que permitan una análisis estadístico y econométrico a  través de hojas electrónicas y  paquetes estadísticos.    El sistema empresarial hondureño no se ha actualizado en el uso y aplicaciones de los paquetes estadísticos, es muy normal que un importante banco comercial, cooperativa, agencias de publicidad y mercadeo, diversas empresas, desconozcan las aplicaciones para su beneficio de los sistemas estadísticos; con mucha frecuencia los paquetes estadísticos son reemplazados por hojas electrónicas o manejadores de bases de datos, por la sencilla razón de estar estos al alcance popular y existen textos en español sobre el uso de estos importantes software.  De esta manera se desconoce que tanto los manejadores de bases de datos como las hojas electrónicas son muy limitados para la realización de análisis estadísticos.  La estadística moderna es una teoría de la información que tiene como objetivo la predicción. Esto es,   la estadística es la base de los sistemas de información  y  de los procesos  de toma de decisiones en el corto, mediano y largo plazo.   En esta perspectivas,  la Estrategia de Reducción de la Pobreza  (ERP) presentada en agosto del 2001 requiere de un sistema  estadístico modernizado que permita  generar un sistema de información  continua  para que el  Estado de Honduras y demás Estados de Centroamérica  puedan  tomar decisiones de acuerdo a la  ERP en el sentido de realizar actividades que permitan mejorar el  bienestar social de la población hondureña y centroamericano.   A  nivel Centroamericano  la  “Evaluación de la Reducción de la Pobreza” requiere de un sistema estadístico modernizado que permita la recolección eficiente de la información para su procesamiento en bases de datos, hacia el mejoramiento de los procesos de toma de decisiones que induzcan mejores niveles de bienestar social  centroamericano.   El   proyecto:  Fortalecimiento y Modernización del Sistema Estadístico Nacional conocido con el número del proyecto:  HON/02/U14  puede   mejorar las estructuras de información  del Estado de Honduras con el objetivo fundamental de reducir la pobreza en Honduras a través de su estrategia.   En el estudio del proyecto referido reconocen que en el pasado han existido importantes distorsiones que han obstaculizado el proceso de toma de decisiones  y se presentan soluciones por medio de una mejor educación y diálogo.   En ese proyecto[2] se comenta los siguiente        “:Los esfuerzos por mejorar los procesos de generación de estadísticas económicas y sociales en la región muestran que no basta con apoyar la ejecución de censos y encuestas o la recolección de registros administrativos. El apoyo tiene que extenderse hasta alcanzar a todos los participantes en el “ciclo estadístico”. Es necesario apoyar el proceso de producción de estadísticas de calidad y oportunas, pero también es esencial subsanar las deficiencias que existen entre los usuarios de la información. Las experiencias en la región han demostrado que una manera de atacar este problema es fomentando un diálogo entre usuarios y productores de estadísticas, de tal manera que exista una sincronía entre los datos generados y la información requerida.   Para lograrlo es necesario complementar el apoyo a la generación de datos con la capacitación de los usuarios en el aprovechamiento de la información para que ambas partes sean concordantes y logren comunicarse en forma fluida.”

 De la manera anterior en la parte B  establecemos la interacción primaria entre la estadística y las computadoras  mediante las bases de datos que permiten convertir encuestas en variables respuestas.   Las variables generan estructuras de base de datos que pueden trasladarse a paquetes estadísticos que facilitan los análisis de datos hacia la construcción de modelos que permiten optimizar los procesos de toma de decisiones.  Un paquete estadístico son un conjunto de programas computarizados que tienen como objetivo generar medidas descriptivas y de predicción.  En la parte C  presentamos los elementos de la estadística descriptiva, cubrimos el procesamiento y análisis de datos a través de paquetes estadísticos en su parte descriptivo y de diagnóstico.      En la parte  D   presentamos los estadísticos de Asimetría y Apuntamiento.  Y en la parte  E  cubrimos el marcológico para proyectos ligados a la Estadística  y en la poarte F presentamos la Bibliografía.    Es de comentar que esta nueva edición del 14 de julio del 2005  ha sido enriquecida con citas  y algunos párrafos de Bioestadística de la Universidad de Málaga que se encuentra en Internet en formato Htlm  y el IICES  para darle uso  la transformó en formato Word.    En los módulos restantes de la  Maestría  en Matemática Aplicada a la Economía y Finanzas  nos referiremos a  las bases del mustreo  y las aplicaciones del control estadístico a la calidad y procesos   y econometría con programación lineal.  En la construcción de modelos de toma de decisiones.

 

TABLA DE CONTENIDO DE “ESTADÍSTICA BASICA CON EL EXCELL Y EL SPSS”

 

 

 

 

 

Página

A

 

 

 

   INTRODUCCIÓN    

1

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

   LA  ESTADÍSTICA    Y   LAS  COMPUTADORAS

3

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

   DEFINICIÓN DE ESTADISTICA 

3

 

II

 

 

   LOS DATOS ESTADÍSTICOS

8

 

III

 

 

 ESTADÍSTICA, COMPUTADORAS: LAS HOJAS ELECTRÓNICAS  Y  LOS  PAQUETES ESTADÍSTICOS

9

 

IV

 

 

DEFINICIÓN DE VARIABLE Y DE BASE DE DATOS

13

 

V

 

 

DEFINICIÓN DE BASE DE DATOS

17

 

VI

 

 

EJEMPLOS DE BASES DE DATOS  EN EL SPSS Y EL EXCELL

19

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

UNA BASE DE DATOS EN EL PAQUETES ESTADÍSTICO SPSS

19

 

 

2

 

LA BASE DE DATOS DE LAS CUENTAS DE INGRESOS MUNICIPALES DE SAN PEDRO SULA, SERIE 1980—2001

22

 

 

3

 

LA BASE DE DATOS DE LA MUNICIPALIDAD DE SAN PEDRO SULA EN VALORES CORRIENTES, EN EL EXCELL

36

 

 

4

 

LA BASE DE DATOS DE LA MUNICIPALIDAD DE SAN PEDRO SULA, EN EL SPSS

39

 

 

5

 

UNA BASE DE DATOS PARA ANALIZAR LA MACROECONOMÍA DE HONDURAS, MEDIANTE EL SPSS

41

 

 

 

 

 

 

 

VII

 

 

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

47

 

VIII

 

 

LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS VARIABLES QUE CONFORMAN LA BASE DE DATOS

51

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 GRAFICOS PARA VARIABLES CUALITATIVAS

51

 

 

2

 

GRAFICOS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS

54

 

 

 

 

 

 

 

IX  

 

 

 LA  REPRESENTACIÓN  GRAFICA  DE  LAS  VARIABLES QUE

 CONFORMAN     LA BASE DE DATOS

55

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

UN ALGORITMO PARA PRESENTAR GRAFICOS EN EL EXCELL

55

 

 

2

 

EJEMPLOS DE BASES DE DATOS CON SUS GRAFICOS EN EL EXCELL

61

 

 

3

 

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

72

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

74

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

74

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EJEMPLO 1

74

 

 

2

 

EJEMPLO 2

76

 

 

3

 

 FORMACION DE UNA DISTRIBUCION EMPIRICA A PARTIR DE UN CONJUNTO DE UN CONJUNTO DE DATOS

 

77

 

 

4

 

GRAFICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ACUMULADO

78

 

 

 

 

 

 

 

II

 

 

 MAS ELEMENTOS SOBRE LAS FRECUENCIAS

 

    83

 

III

 

 

 ELECCION DE LAS CLASES

 

    87

 

IV

 

 

ELECCION DE INTERVALOS PARA VARIABLES CONTINUAS.

 

    88

 

V

 

 

 GRAFICOS PARA VARIABLES DISCRETAS

 

    91

 

VI

 

 

LAS PRINCIPALES INSTRUCCIONES EN EL SPSS PARA CREAR UNA BASE DE DATOS.

 

    100

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EL COMANDO EDIT

102

 

 

2

 

EL “DATA” Y EL “DATA VIEW”

102

 

 

 

 

 

 

 

VII

 

 

LAS ESTADÍSTICAS DESCRIPTIVAS CON EL SPSS

111

 

VIII

 

 

LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

125

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LA MEDIA ARITMETICA

126

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a.

LA MEDIA GEOMETRICA

132

 

 

 

b.

LA MEDIA ARMONICA

132

 

 

 

c.

LA MEDIA CUADRATICA

 

133

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

  LA MEDIANA

133

 

 

3

 

  LA MODA

137

 

 

 

 

 

 

 

IX

 

 

MAS GRAFICOS POR MEDIO DEL SPSS

 

138

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

CARACTERÍSTICAS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

139

 

XI

 

 

EJEMPLOS SOBRE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EL SPSS

141

 

XII

 

 

 ESTADISTICOS DE POSICION

 

145

 

XIII

 

 

LAS MEDIDAS DE DISPERSION

152

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LA DESVICION MEDIA ABSOLUTA

152

 

 

2

 

LA DESVIACION ESTANDAR

154

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 ASIMETRIA  Y APUNTAMIENTO

157

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

ESTADISTICOS DE ASIMETRIA

157

 

II

 

 

INDICE BASADO EN LOS TRES CUARTILES   (Yule-Bowley)

 

159

 

III

 

 

INDICE BASADO EN EL MOMENTO CENTRAL DE TERCER ORDEN

160

 

IV

 

 

OTROS INDICES DE ASIMETRIA

161

 

V

 

 

ESTADISTICOS DE APUNTAMIENTO

165

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

BIBLIOGRAFIA

169

 

 [1] HONDURAS:  MERCADOS FINANCIEROS RURALES NO FORMALES.               INVESTIGACIÓN DESARROLLADA POR EL DOCTOR CLAUDIO GONZÁLEZ          VEGA Y EL LICENCIADO  JOSÉ ISAAC TORRICO.  EDICIÓN DE              PRODEPAH. OCTUBRE DE 1995.

[2] Consultar la página Webb de los proyectos BID, Países  Amigos (Países Donantes), en lo relacionado al Programa de Reducción de la Pobreza  en  Honduras, seguidamente consulte el “Proyecto de Modernización del Sistema Estadístico”

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CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

A     INTRODUCCION

 En el mundo globalizado, en dónde las barreras fronterizas se encuentran en una franca tendencia a desaparecer y la apertura en los mercados mundiales es una realidad latente gracias a los tratados de libre comercio y convenios internacionales, han obligado a las empresas nacionales a ser más competitivas para permanecer activas ya que ahora, no solo se compite con las empresas locales, sino que se deben medir con empresas internacionales que ofrecen los mismos productos y/o servicios pero a un costo mucho menor y con una mayor calidad.  Las empresas que desean sobrevivir en este nuevo panorama deben de optimizar sus procesos y recursos con el fin de crecer y así poder ofrecer al público un producto y/o servicio competitivo.

 Dentro de los objetivos específicos del Control Estadístico de Procesos (CEP) se encuentran la minimización de la producción defectuosa, la maximización de proceso sujeto a la supervision,  y la aplicabilidad de normas y especificaciones que relacionan a los dos objetivos anteriores.   Los elementos de un proceso se pueden clasificar como internos y externos. Los elementos internos que se agrupan en el interior de la empresa  son: personas, maquinarias y equipos, herramientas, métodos, procedimientos, instrucciones y productos intermedios, todos ellos catalogados como elementos tangibles; y elementos intangibles son los valores, principios, cooperación, competencias, redes, confianza, reciprocidad y conductas.  Para el caso de los elementos externos, los cuales se agrupan fuera de las fronteras del interior de la empresa tenemos: los elementos de la oferta competitiva y la demanda en sus entornos jurídicos sociales y ambientales entre ellos: los proveedores, clientes, competidores, contratos, leyes, reglas, insumos, productos y mercados, catalogados como tangibles. Loas aspectos intangibles son  las expectativas, alianzas, imagen, confianza, redes, cooperación y fidelidad.

 El control estadístico se aplica a los procesos del sistema dinámico de gestión de la calidad para evaluar el comportamiento de los elementos internos y externos de los mismos.  El propósito del control estadístico de  los procesos, el cual parte de un conjunto de observaciones recogida  mediante la ejecución de un plan de muestreo y representadas en gráficas, es determinar las causas que puedan tener un impacto desfavorable en el cumplimiento de las especificaciones de los bienes  y / o servicios producidos (salidas del proceso), que son entregados a los clientes en el marco de un convenio de satisfacción.

 En el sentido antes descrito este texto es una de las aplicaciones de la Estadística Aplicada a la Toma de Decisiones y complementa los 31 libros que comprenden la “MAESTRIA EN MATEMATICA APLICADA A LA ECONOMIA Y FINANZAS”. Textos que se encuentran en el       CD  con el mismo nombre de la Maestría de los cuales 24  hasta el momento  han sido escritos y editados por el IICES y se encuentran como textos electrónicos y en la modalidad tradicional.    En la época en que los sistemas de información y ordenadores han evolucionado más rápidamente que las reformas curriculares de las últimas dos décadas en lo concerniente a  modelos de toma de decisiones, nos encontramos  en un nuevo milenio en que no es posible ignorar las facilidades que proporciona Internet en sus diversas modalidades para la creación de textos afines a los patrones culturales de los países.   Para los escritores Internet es una fuente inagotable de información  y  libros en materia de consultas  que enriquecen los contenidos de los libros de los escritores de temas científicos y otros.   En esta perspectiva entre las  grandes cantidades de documentos que enriquecen el presente texto sobresalen los trabajos de  MAURICIO LEÓN LEFCOVICH,  R. G.  BARCA,   LUIS MOLINERO, JOSE EMILIO GONDAR, LUIS J. BENEVIDES,  el texto de Bioestadística de la Universidad de Málaga, documentos  proporcionados por Ricardo Vásquez Mejía del INTEC y la información de el Centro Superior de Informática.   El texto presenta pensamientos de los autores anteriores, bajo  la responsabilidad del editor y autor José Salomón Perdomo Mejía.

 Hemos escogido  a los autores anteriores para enriquecer y elaborar este texto porque presentan aspectos educativos mas fáciles de digerir para nuestros estudiantes considerando que en la actualidad existen varias carreras a nivel de educación media y superior que se verían favorecidas con el enriquecimiento  académico que genera el presente texto y los demás libros que componen el CD.    De esta manera  en la parte B planteamos las generalidades históricas y teóricas del Control Estadístico de Calidad.   En la parte C  presentamos un repaso de la estadística básica, tales como los elementos de la estadística descriptiva, las medidas de tendencia central y de dispersión y algunas funciones de probabilidad entre ellas la normal, la t estudiante, y la poisson.   En Lector que dispone del CD puede consultar los textos de “Estadística Básica con el Excell, SPSS y Statisica”, “Elementos de la teoría de conjuntos y de la Teoría de la Probabilidad”, “Las Bases del Muestreo”, “La  Econometría Básica” y los demás textos de economía y estadística aplicada.    En la parte D  presentamos un repaso de las pruebas de hipótesis, sus conceptos básicos aplicados a los gráficos de control.

 En la parte E  presentamos  los fundamentos de los gráficos de control, modelos de comportamiento de los diagramas de control hasta cubrir los diagramas con variables cuantitativas entre ellos los gráficos de control de la media y de dispersión.  En el caso de las variables cualitativas o atributos presentamos los modelos NP y de proporciones, el diagrama C y U. 

 En la parte F  presentamos  una guía de estudios sobre las aplicaciones de los diagramas de control, en la parte G  un comentario sobre los Sistemas de Gestión de Calidad.  Y enla parte H  presentamos tablas estadísticas para culminar con la bibliografís rn la parte I        

 Esparamos que estos documentos integrados en este libro sean de utilidad al sistema educativo medio y superior de Honduras y Centroamérica.    En la bibliografía presentamos los correos electrónicos de los autores de la bibliografía antes comentados y estamos eternamente agradecidos con ellos por semejantes aportes vía Internet en formatos htlm y pdf  pasados a formato word  para su utilización en este libro por el responsable  José Salomón Perdomo Mejía. 

 

TABLA DE CONTENIDO DE  “ESTADISTICA APLICADA AL CONTROL DE CALIDAD Y PROCESOS”

 

 

 

 

 

Página

A

 

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

GENERALIDADES DEL CONTROL ESTADISTICO DE LA CALIDAD

3

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

HISTORIA DEL CONTROL DE CALIDAD Y CONCEPTOS GENERALES

3

 

II

 

 

CONTROL ESTADISTICO UNA VERDADERA VENTAJA COMPETITIVA

8

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

EL CONTROL ESTADISTICO DE PROCESOS

8

 

 

2

 

LOS COSTOS DE PRODUCCION Y EL CONTROL DE PROCESOS ESTADISTICO

9

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

REPASO DE  ESTADISTICA BASICA  APLICADA

11

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

CONCEPTOS ESTADISTICOS FUNDAMENTALES

11

 

II

 

 

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

19

 

III

 

 

REPASO DE  LAS  MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

23

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

MAS ELEMENTOS DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL  Y DISPERSION

30

 

 

2

 

LAS MEDIDAS DE DISPERSION

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

LA DESVIACION MEDIA ABSOLUTA 

31

 

 

 

b

LA DESVIACION ESTANDAR DE LA MUESTRA

32

 

 

 

c

EL  RANGO

34

 

 

 

 

 

 

 

IV

 

 

FUNCIONES DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES

40

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LA DISTRIBUCION NORMAL

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR

43

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

LA DISTRIBUCION   T    DE  ESTUDIANTE

45

 

 

3

 

LA DISTRIBUCION BINOMIAL

47

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

REPASO DE LAS   PRUEBAS   DE  HIPOTESIS

54

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

CONCEPTOS BÁSICOS

54

 

II

 

 

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA DE LA POBLACIÓN   m

56

 

III

 

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LA ESTIMACIÓN Y LAS  PRUEBAS DE HIPOTESIS

58

 

IV

 

 

UN  EJERCICIO RESUELTO DE LAS PRUEBAS DE HIPOTESIS

63

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

HACIA LOS GRAFICOS DE CONTROL

67

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

LOS GRAFICOS DE CONTROL

71

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

FIGURAS DE COMPORTAMIENTO DE LOS DIAGRAMAS DE CONTROL

81

 

 

 

 

 

 

 

II

 

 

DIAGRAMAS DE CONTROL PARA LA MEDIA Y LA DISPERSION  R

85

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

DIAGRAMA 0

85

 

 

 

 

 

 

 

III

 

 

DIAGRAMA DE CONTROL

86

 

IV

 

 

UN EJEMPLO  ILUSTRATIVO DEL MODELO ANTERIOR  SOBRE  GRAFICOS X-R

89

 

V

 

 

GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS     (NP)

95

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

DIAGRAMA    p

95

 

 

 

 

 

 

 

VI

 

 

UN EJEMPLO ILUSTRATIVO Y VARIANTE DEL MODELO ANTERIOR, GRAFICOS  NP

98

 

VII

 

 

DIAGRAMA   C

101

 

VIII

 

 

UN EJEMPLO ILUSTRATIVO Y VARIANTE  DEL MODELO ANTERIOR.    GRAFICOS   C   y    U

102

 

IX

 

 

MAS ELEMENTOS TEORICOS SOBRE LOS GRAFICOS DE CONTROL 

107

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

GRAFICO DE CONTROL PARA VARIABLES CUANTITATIVAS

107

 

 

2

 

GRAFICO DE CONTROL DE ATRIBUTOS

109

 

 

3

 

CARTAS INDIVIDUALES           CARTA X-R

110

 

 

4

 

CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES.   O   CARTA DE INDIVIDUALES

111

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

GUÍA DE ESTUDIO

112

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

PROBLEMAS SOBRE EL CONTROL ESTADISTIOCO DE CALIDAD Y PROCESOS

112

 

II

 

 

AUTOEVALUACIÓN

116

 

 

 

 

 

 

G

 

 

 

SISTEMAS DE GESTION DE CALIDAD  

121

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

NORMALIZACION  E ISO 9000

121

 

II

 

 

COMPONENTES DE LAS NORMAS ISO  9000

121

 

III

 

 

MINITAB CONTROL ESTADISTICO DE PROCESOS 

122

 

IV

 

 

CAPACIDAD DEL PROCESO

124

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

TABLAS DE ESTADISTICA

129

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

BIBLIOGRAFIA

137

 

 

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TEORIA DE LA ESTIMACION Y MUESTREO

  1.        INTRODUCCION

Las encuestas son útiles cuando queremos saber sobre un gran número de personas. Cuya muestra es menor a su población.   El muestreo es generalmente complejo y usualmente requiere muchas estadísticas y computadoras. Es  importante entender las bases lógicas para que el agente decisior pueda elegir inteligentemente sobre situaciones que resuelven problemas a nivel de empresas, y del Estado.

En la década de los treinta del siglo XX  los muestreos de opinión pública mejoraron cuando las organizaciones empresariales y educativas comenzaron a desarrollar métodos que permitían la selección relativamente imparcial de participantes y la recogida sistemática de datos entre un amplio y variado sector del público.  Entre los pioneros del muestreo y la toma de decisiones se encuentra el analista estadounidense George Horace Gallup, inventor del sondeo que lleva su nombre.   A partir de 1948 las técnicas de opinión pública mejoraron de forma considerable. Actualmente, los objetivos son hacer una selección equilibrada de los participantes, mejorar la calidad de los cuestionarios y formar entrevistadores capaces y fiables.

Las ciencias sociales  comprenden a la economía[1], sociología[2], antropología, psicología,  demografía[3], politología, administración[4], educacion[5], salud y otras areas sociales.   Los sociólogos también  analizan el comportamiento en que las estructuras sociales que abarca a  las instituciones y estas se desagregan en las  clases,  la familia,  la comunidad y el poder.  También analiza  los problemas de índole social tales como el delito y la manera en que este  influye en la sociedad.   También no podemos ignorar que  la Demografía es la ciencia que analiza el comportamiento de la población en el tiempo.  Es una ciencia multidisciplinaria que abarca la matemática, estadística, biología, medicina, sociología, economía, historia, geografía y antropología.   La demografía como ciencia nace  con la publicación en 1798 del Ensayo sobre el principio de la población, del economista británico Thomas Robert Malthus. En su obra, Malthus advertía  que el crecimiento de la población es exponencial  y el crecimiento de la producción de alimentos  es menor al crecimiento poblacional y esto generaría problemas de pobreza.  También la asociación biológica  es la unidad fundamental de trabajo práctico en ecología que se utiliza para describir los organismos vivos de un ecosistema, es decir, la comunidad  de las asociaciones biológicas  son el resultado del trabajo de campo y la posterior elaboración de tablas estadísticas.

En el sentido antes descrito, el presente libro “TEORIA DE LA ESTIMACION  Y  MUESTREO ” presenta el objetivo fundamental de contribuir con la teoría de los procesos de toma de decisiones que se desarrollan tanto en la educación media y superior en el afán de formar profesionales o líderes que puedan presentar aportes en la solución de los problemas diversos que genera la pobreza.

 

De esta manera se cubre   En la parte B Los Conceptos Básicos de Muestreo y Estadística, comenzando con las aplicaciones del muestreo en la política, en la opinión pública, sociología, demografía, biología y legalidad forence.  Seguidamente damos un repaso de los conceptos estadísticos básicos que se requieren en los temas siguientes de la parte  C  ligados a la estimación, error estándar de la distribución muestral, y las aplicaciones del muestreo en poblaciones que tienen comportamiento no normal y normal.  Se cubre los temas de las estimaciones puntuales y estimación por intervalos.

 

Es difícil proponer y defender  los conceptos matemáticos y estadísticos  en aplicaciones a la economía, finanzas, demografía, sociología, auditoría, biología, ecología, hidráulica  y la dinámica del Estado.  Tal vez la matemática sea el lenguaje de las ciencias pero en los procesos de toma de decisiones las aplicaciones de la matemática y la estadística son  bases  rigurosas y sólidas para escoger  una decisión que puede salvar a cualquier población, empresa o Estado.  A veces resulta financieramente  difícil sostener estudios sobre el comportamiento de una población y la teoría del muestreo viene a resolver ese problema  de escases de recursos monetarios.

La estadística y la matemática son la base de los procesos de toma de decisiones, y  de acuerdo a los contenidos anteriores es necesario seguir analizando len la parte  C  se cubre la teoría elemental del muestreo  que se refiere a los modelos de muestreo que existen ya sea con reemplazamiento y  sin sustitución para llegar a los análisis que se desprenden de las muestras no  probabilísticas y las muestras aleatorias.    Se sabe que las muestras no aleatorias  conducen a situaciones sesgadas que inducen a toma de decisiones con mucho riesgo que pueden favorecer a los fracasos empresariales o del mismo Estado.  Se cubre la parte matematica de la teoría del muestreo entre ellas la cardinalidad y muestreo  y  formulaciones matematica y estadística del tamaño de la muestra,  formalizacion de la  estimación   de   proporciones con sus respectivas definiciones y teoremas.  Seguidamente  demostramos la formula para el  tamaño de la muestra.  Seguimos con la estimación de intervalos de confianza para la media y proporción, cubriéndose el muestreo simple y el estratificado con sus respectivos tamaños muestrales.

 

En la parte D estudiamos  los intervalos de confianza y el contraste de hipotesis y ejercicios resueltos.

En la parte E  seguimos con el muestreo sistematico y por conglomerados.   En esta perspectiva el muestreo aleatorio generan situaciones de decisión en la que se puede cuantificar el error y el riesgo en comportamientos normales  o mediante la aplicación de métodos para pequeñas muestras que siguen comportamientos no gaussianos.     En la parte H  presentamos la bibliografía. 

 

 

TABLA DE CONTENIDO DE  “TEORIA DE LA ESTIMACION Y MUESTREO”

 

 

 

 

 

Página

A

 

 

NTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

B

 

 

CONCEPTOS BASICOS DE   MUESTREO Y  ESTADISTICA                              

3

 

 

 

 

 

 

I

 

APLICACIONES DEL MUESTREO                                                                             

3

 

 

 

 

 

 

 

1

LA POLITICA                                                                                                             

3

 

 

2

LA OPINION PUBLICA.                                                                                              

6

 

 

3

LA SOCIOLOGIA                                                                                                       

7

 

 

4

LA  DEMOGRAFIA                                                                                                    

10

 

 

5

ASOCIACION BIOLOGICA                                                                                        

12

 

 

6

LEGALIDAD  FORENCE                                                                                            

13

 

 

 

 

 

 

II

 

CONCEPTOS BASICOS DE ESTADISTICA                                                          

13

 

 

 

 

 

 

 

1

LA    VARIABLE  ALEATORIA                                                                                 

15

 

 

2

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA                                                               

16

 

 

3

 LA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA                                                                  

19

 

 

4

LA ESPERANZA MATEMATICA EN VALORES DISCRETOS                                  

22

 

 

5

DEFINICION DE ESPERANZA MATEMATICA PARA UNA  VARIABLE  ALEATORIA CONTINUA                                                                      

25

 

 

6

LA VARIANZA PARA VARIABLES ALEATORIAS DICRETAS

      Y CONTINUAS                                                                                                          

26

 

 

7

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE FUNCIONES DE PROBABILIDAD

37

 

 

8

ESPERANZA Y VARIANZA  DE LA  MUESTRA

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

TEORIA ELEMENTAL DEL MUESTREO                                                              

57

 

 

 

 

 

 

I

 

ESTIMACIÓN Y EL TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE   

58

 

 

 

 

 

 

 

1

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

58

 

 

 

 

 

 

II

 

MUESTREO ALEATORIO SIN REEMPLAZAMIENTO Y 

61

 

 

 

MUESTREO   CON REEMPLAZAMIENTO

 

 

 

 

 

 

 

 

1

CARDINALIDAD  Y   MUESTREO

61

 

 

 

 

 

 

III

 

FORMULACIONES MATEMATICA Y ESTADÍSTICA DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA.

 

64

 

IV

 

FORMALIZACION DE LA  ESTIMACIÓN   DE   PROPORCIONES

68

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICIONES Y TEOREMAS

68

 

 

 

 

 

 

V

 

SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA

71

 

VI

 

CONCEPTO DE MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

73

 

VII

 

VENTAJAS Y DESVENTAJAS  DE LOS DIFERENTES FORMAS DE MUESTREO

 

77

 

VIII

 

ESTIMACIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA Y PROPORCIÓN

 

80

 

IX

 

PROBLEMAS RESUELTOS  SOBRE INTERVALOS DE CONFIANZA

83

 

X

 

 PROBLEMAS  RESUELTOS  DE  ESTADISTICA   DESCRIPTIVA

86

 

 

 

 

 

 

XI

 

EL MUESTREO ESTRATIFICADO

92

 

 

 

 

 

 

 

1

CRITERIOS PARA LA ESTRATIFICACIÓN: METODOS DE AFIJACIÓN O  ASIGNACIÓN

92

 

 

2

FORMULAS A UTILIZAR

95

 

 

3

CALCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA EN MUESTRO ESTRATIFICADO

98

 

 

 

 

 

 

XII

 

EJEMPLOS  DE MUESTREO SIMPLE Y ESTRATIFICADO

102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

INTERVALOS DE CONFIANZA Y EL CONTRASTE DE HIPOTESIS Y EJERCICIOS RESUELTOS.

111

 

 

 

 

 

 

I

 

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ESTIMACION DE INTERVALOS DE  CONFIANZA

111

 

II

 

EL CONSTRASTE DE HIPOTESIS

119

 

 

 

 

 

 

 

1

CONCEPTO DE CONTRASTE DE HIPÓTESIS

119

 

 

2

CONTRASTE DE HIPÓTESIS DE UNA POBLACIÓN

119

 

 

3

CONCEPTO DE   p -VALOR.

121

 

 

4

USO  DEL   p-VALOR  EN  LOS  CONTRASTES  SOBRE   μ   CONOCIDA   σ   CONOCIDA

122

 

 

5

USO  DEL   p-VALOR EN LOS CONTRASTES SOBRE   μ    CONOCIDA    σ DESCONOCIDA

124

 

 

6

EJEMPLO   UTILIZANDO   LA   T-STUDENT

125

 

 

7

USO DEL    p-VALOR  EN LOS CONTRASTES SOBRE LA PROBABILIDAD  DE ÉXITO  p   EN UNA BINOMIAL

127

 

 

 

 

 

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CONTRASTE DE HIPOTESIS

130

 

IV

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE PRUEBA DE HIPOTESIS

145

 

V

 

GUIA DE ESTUDIO

149

 

VI

 

AUTOEVALUACIÓN

150

 

VII

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LA ESTIMACIÓN Y LAS  PRUEBAS DE  HIPOTESIS

150

 

VIII

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE MUESTREO Y PRUEBAS DE HIPOTESIS

155

 

IX

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LA ESTIMACIÓN Y LAS  PRUEBAS  DE   HIPOTESIS

167

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

HACIA EL MUESTREO SISTEMATICO Y POR CONGLOMERADOS

172

 

 

 

 

 

 

I

 

DISTRIBUCIONES  DE  MUESTREO

172

 

II

 

MUESTRA SISTEMATICA

175

 

 

 

 

 

 

 

1

FORMULAS A UTILIZAR

181

 

 

 

 

 

 

III

 

MUESTRA   POR  CONGLOMERADOS Y POR ETAPAS

183

 

 

 

 

 

 

 

1

FORMULAS A UTILIZAR

185

 

 

2

Ejemplo 1

186

 

 

 

 

 

 

IV

 

MUESTREO POR CONGLOMERADOS EN DOS ETAPAS

190

 

 

 

 

 

 

 

1

ESTIMACION INSESGADA DE UNA MEDIA Y UN TOTAL POBLACIONAL

191

 

 

2

ESTIMADOR INSESGADO DE LA MEDIA POBLACIONAL    μ

192

 

 

3

LIMITE PARA EL ERROR DE ESTIMACIÓN

193

 

 

4

Ejemplo 2

194

 

 

5

Ejemplo 3

197

 

 

6

ESTIMACION DE RAZON DE UNA MEDIA POBLACIONAL

199

 

 

7

Ejemplo 4

200

 

 

8

ESTIMACION DE UNA PROPORCION  POBLACIONAL  p

201

 

 

9

Ejemplo 5

204

 

 

10

SELECCIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA

206

 

 

11

Ejemplo 6

208

 

 

12

RESUMEN DEL   MUESTREO POR CONGLOMERADOS

210

 

 

 

 

 

 

V

 

MUESTRA DE RED

210

 

VI

 

MUESTREO POR CUOTA

210

 

VII

 

MUESTREO PONDERADO

211

 

VIII

 

LOS TIPOS DE ERRORES

212

 

 

 

 

 

 

 

1

ERROR SISTEMATICO

212

 

 

2

ERROR DE MUESTREO O ERROR MUESTRAL

214

 

 

3

TABLA  DEL  CALCULO DEL TAMAÑO DE UNA MUESTRA

215

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

LAS MUESTRAS NO PROBABILISTICAS O MUESTRAS NO ALEATORIAS

222

 

 

 

 

 

 

I

 

MUESTREO  NO PROBABILISTICO

222

 

II

 

MUESTRA ACCIDENTAL

224

 

III

 

MUESTREO POR CUOTAS

225

 

IV

 

LA MUESTRA TRANSECTO  

225

 

V

 

 MUESTRA DE RUTA

226

 

VI

 

MUESTRA INTENCIONAL

226

 

VII

 

OTROS TIPOS DE MUESTEO NO PROBABILISTICO

227

 

 

 

 

 

 

 

1

MUESTRA DE VOLUNTARIOS

227

 

 

2

MUESTRA-BOLA DE NIEVE

227

 

 

 

 

 

 

VIII

 

EL TAMAÑO DE UNA MUESTRA NO ALEATORIA

228

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

CONCEPTOS TECNICOS DEL MUESTREO

229

 

 

 

 

 

H

 

 

BIBLIOGRAFIA

233

 

 

 

 

 

 

[1] Consultar Economia Basica.  Por Jose Salomon Perdomo Mejia.  Libros IICES CIMES.  Consultar “Honduras: restricciones Externas, Mercados Financieros y Empleo”  del mismo autor.

[2] Consultar “Sociologia y la Teoria del Estado Dependiente”.  Autor: Jose salomon Perdomo Mejia.  Libros IICES  CIMES.

[3] Consultar “Demografia de Honduras 1885 2015”  Autor JSPM.  Libros
IICES CIMES.

[4] Consultar “Introduccion a la Administracion de Empresas”, “Economia y Finanzas”, “Modelos de decisiones Gerenciales” y Modelos de encubacion de Empresas”.  Libros del IICES CIMES.   Autor:  Jose Salomon Perdomo Mejia.

[5] Consultar Investigaciones del IICES CIMES en Educacion y Salud.  Editor Jose Salomon Perdomo Mejia.

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ELEMENTOS DE CONJUNTOS Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD

A                        INTRODUCION

 El presente texto es el noveno Libro de la  “MAESTRIA EN MATEMATICA APLICADA A LA ECONOMIA Y FINANZAS”  que el IICES está desarrollando con varias universidades de Centroamérica, e Institutos de Investigación y Educación.  La teoría de conjuntos es la base de la teoría de la probabilidad  y  la  teoría de la probabilidad es la base de los modelos de toma de decisiones econométricos y por esta razón el presente texto  nos brinda las herramientas necesarias para abordar posteriormente los textos del IICES “las bases del muestreo” y “el control estadístico y procesos”  que presentamos en los siguientes módulos para abordar finalmente la teoría econométrica y sus diversas aplicaciones.   El concepto de probabilidad, se relaciona  con  las propiedades de la frecuencia relativa.   A partir de ella, y junto con las definiciones de probabilidad condicionada y la de sucesos independientes, se deducen los teoremas fundamentales del Cálculo de Probabilidades.

Nos centraremos posteriormente en el fundamento que une la teoría de la probabilidad y la estadística aplicada, esto es, la  variable aleatoria, mostrando de esta manera, como puede emplearse la teoría de la probabilidad para sacar conclusiones precisas acerca de una población en base a una muestra extraída de ella, y que muchos de los estudios estadísticos son de hecho, estudio de las propiedades de una o más variables aleatorias.  Llegamos así al estudio de las características asociadas a una variable aleatoria introduciendo los conceptos de esperanza y varianza matemática, relacionándolos con los conceptos de media y varianza de una variable estadística, para finalizar con las funciones de probabilidad y distribuciones de probabilidad de uso mas frecuente, respaldándonos con los paquetes estadístico “Statistica” y el “SPSS”.  El minitab lo utilizamos en el texto de “Constrol Estadístico de la Calidad y Procesos”.   El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística inductiva o inferencial.   Para trabajar con el cálculo de probabilidades es necesario fijar previamente cierta terminología. Vamos a introducir parte de ella en las próximas líneas.

En el sentido antes descrito,  en la parte B  principiamos desarrollando las operaciones entre conjuntos de manera intuitiva y de esta manera proseguir con el concepto de variable aleatoria en la parte C  para seguir con las funciones de probabilidad de variable discreta  entre ellas la Binomial, Poisson, Bernoulli.  Las aplicaciones de  se realizan con el Excell  y el paquete estadístico STATISTICA, de esta manera se logran interesantes aproximaciones entre la binomial y la Poisson..    Cubrimos  el concepto de esperanza matemática.   En los concepto derivados de la variable aleatoria continua cubrimos la normal  y las aproximaciones de la binomial con la normal.     Se analizan las otras  funciones de probabilidad entre ellas la t  student, la Fisher y otras mediante el STATISTICA.  Las demostraciones de los teoremas de las funciones discretas y contínuas las efectuamos gracias al documento de la Universidad de Málaga en Bioestadística que se encuentra disponible al público lector vía Internet.  Nos seguimos apoyándonos en los modelos de probabilidad del paquete Statistica  en lo referido a otras funciones de probabilidad.  La segunda componente del Libro Teoría de Conjuntos y Probabilidad la efectuamos en la parte D  donde abordamos conceptos sobre la teoría de la estimación respaldándonos siempre en la hoja electrónica Excell y  los paquetes estadísticos.   En la cuarta parte la  E  abordamos las pruebas de hipótesis.      Y en la  parte  F  la   presentamos la bibliografía.    Con la nueva tecnología computarizada se refuerza la intuición para desarrollar el proceso enseñanza aprendizaje a mejores niveles de comprensión.

 

TABLA DE CONTENIDO DE “ELEMENTOS DE CONJUNTOS Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD”

 

 

 

 

 

Página

A

 

 

 

INTRODUCCIÓN

1

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

ELEMENTOS INTUITIVOS DE LA TEORIA DE COMJUNTOS

2

 

I

 

 

CONCEPTOS BASICOS

2

 

II

 

 

OPERACIONES ENTRE COJUNTOS

5

C

 

 

 

ELEMENTOS DE LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD

11

 

I

 

 

CONCEPTOS BASICOS

12

 

II

 

 

ESPACIO MUESTRAL  DE  UN  EXPERIMENTO  ALEATORIO

13

 

 

 

 

 

13

 

 

1

 

EL SUCESO SEGURO

13

 

 

2

 

EL SUCESO IMPOSIBLE

13

 

 

3

 

EL SUCESO CONTRARIO A UN SUCESO A

13

 

 

4

 

OPERACIONES BASICAS CON SUCESOS ALEATORIOS

14

 

 

 

 

 

 

 

III

 

 

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD

17

 

IV

 

 

DEFINICION DE PROBABILIDAD

20

 

V

 

 

LA   PROBABILIDAD  CLÁSICA:  EJEMPLOS

21

 

VI

 

 

DEFINICION AXIOMATICA DE PROBABILIDAD

22

 

VII

 

 

CONCEPTO DE - ALGEBRA DE SUCESOS

23

 

VIII

 

 

PROBLEMAS RESUELTOS CON LAS PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

29

 

IX

 

 

REPASO SOBRE EL  DESARROLLO  AXIOMATICO  DE  LA  PROBABILIDAD

30

 

X

 

 

EJERCICIOS SOBRE  CONJUNTOS  Y   PROBABILIDAD

31

 

XI

 

 

LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

33

 

XII

 

 

EL CALCULO DE LA  PROBABILIDAD CONDICIONAL Y PROBLEMAS RESUELTOS

34

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LOS EVENTOS INDEPENDIENTES

35

 

 

 

 

 

 

 

XIII

 

 

LA PROBABILIDAD   SUBJETIVA 

38

 

 

 

 

 

 

CH

 

 

 

FUNCIONES DE PROBABILIDAD

40

 

I

 

 

UN EJEMPLO SOBRE VARIABLE ALEATORIA

40

 

II

 

 

DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA

41

 

III

 

 

LA FUNCION DE PROBABILIDAD

45

 

IV

 

 

LA FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

48

 

V

 

 

LA ESPERANZA MATEMATICA EN VALORES DISCRETOS

49

 

VI

 

 

FUNCIONES ESPECIALES DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

52

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LA FUNCION DE PROBABILIDAD DE BERNOULLI

52

 

 

2

 

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

55

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

55

 

 

 

b

PROPIEDADES FORMALES DE LA BINOMIAL

59

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

LA DISTRIBUCION DE POISSON

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

PROPIEDADES DE LA FUNCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

65

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

EJERCICIOS RESUELTOS  DE LAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD  DISCRETA USANDO EL EXCELL

67

 

 

 

 

 

 

 

VII

 

 

LA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

77

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

LAS FUNCIONES DE DENSIDAD

77

 

 

2

 

LA CURVA NORMAL

70

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

LA NORMALIZACION ESTANDAR DE UNA VARIABLE

81

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

EJERCICIOS   SOBRE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA

83

 

 

4

 

EJERCICIOS  RESUELTOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

92

 

 

 

 

 

 

 

VIII

 

 

FUNCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS CON MATEMATICA SUPERIOR

103

 

 

1

 

LA DISTRIBUCION NORMAL O GAUSSIANA

103

 

 

2

 

APROXIMACION A LA NORMAL POR LA LEY BINOMIAL

109

 

 

 

 

 

 

 

IX

 

 

OTRAS FUNCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

116

 

 

1

 

LA  FUNCION DE PROBABILIDAD   χ2   CHI CUADRADA

116

 

 

2

 

LA DISTRIBUCION  T   STUDENT

120

 

 

3

 

LA FUNCION DE PROBABILIDAD  F  DE SNEDECOR

124

 

 

4

 

LA FUNCION DE PROBABILIDAD  EXPONENCIAL

117

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

OTRAS FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCION ACUMULATIVA

132

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

BIBLIOGRAFIA

136

 

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ANALISIS COMBINATORIO Y TEORIA DE LA PROBABILIDAD

.                         INTRODUCCION

 La matemática en sus aplicaciones puede considerarse un juego, y por lo tanto para entenderla hay que conocer las reglas del mismo.  Si existen reglas, podemos  pensar que existen elementos, cosas, que obedecen esos mandatos. Dichos elementos se conocen con el nombre de conceptos primitivos, o elementos primarios  porque ha partir de ellos  se estructura e  inicia la  teoría matemática.    El análisis combinatorio.

 La estadística matemática puede describirse como una construcción edilicia cuyos cimientos están representados por axiomas, afirmaciones que aceptamos sin discusión.  De esta manera partimos de los elementos primitivos de la teoria de conjuntos:  el elemento y el conjunto ligado a la relacion de pertenencia.     En la geometría plana por ejemplo, el punto y la recta son conceptos primitivos, y con la siguiente proposición que "por un punto pasan infinitas rectas" estamos enunciando un axioma.   La teoria de conjuntos genera la teoria de la probabilidad y en  base a sus tres principales axiomas se pueden "construir" propiedades, a las que denominamos teoremas,  afirmaciones cuya validez puede probarse, deducirse lógicamente. De estas propiedades se deducen otras, y así sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red que involucra la teoria de conjuntos con la logica matematica interrelacionados al análisis combinatorio y la teoria de la probabilidad.  Todos estos componentes permiten generar la estadística matematica que es el fundamento de la teoria de la toma de decisiones.  

 Un concepto basico se deriva del factorial de un numero que se considera como

un proceso matemático en el que hay que multiplicar sucesivamente números enteros no negativos.   Y de esto llegamos a las permutaciones como cualquier arreglo de un conjunto de n objetos en un orden dado.   Cualquier arreglo de cualquier de estos objetos en un orden dado, se llama permutación.  En el sentido anterior, a menudo nos enfrentamos a problemas que implican la disposición de los elementos de cierto conjunto en algún orden específico; esto es, si a1 y a2 son elementos del conjunto A, el orden a1a2  se considera distinto del   a2a1.

 Al análisis combinatorio, que incluye el estudio de permutaciones, combinaciones y par­ticiones, le atañe la determinación del número de posibilidades lógicas de algún suceso sin enumerar necesariamente cada caso.   

 Con frecuencia, al ocupamos de conjuntos que consisten en objetos discretos o de experimentos que incluyen resultados específicos es conveniente, y a menudo necesario, enumerar la cantidad de elementos en el espacio de eventos de interés o contar el número de resultados posibles de un experimento. Uno de los métodos más simples para el conteo sistemático es la construcción de un diagra­ma del arbol

 Hemos mencionado una serie de conceptos que nos permitirán construir los fundamentos de la teoria de la decision en donde la teoria de la probabilidad genera el concepto deductivo de la inferencia  y de esto hacia la construcción de los modelos de toma de decisiones.

 La colección de libros del IICES  y  CIMES parte de los fundamentos de la logica matematica que  interrelacionada con la teoria de conjuntos genera el análisis matematicos y el calculo diferencial e integral ligada con el algebra lineal en un primer camino,  en un segundo rumbo llegamos a la estadística descriptiva con las bases de datos que nos permiten los análisis  del pasado y el presente.  El análisis combinatorio y la teoria de la probabilidad relacionada con las funciones nos permiten construir las bases de la inferencia estadística hacia la construcción de los modelos de toma de decsiones aplicados a la economía, negocios y los demas comportamientos de las ciencias sociales.   Esto es precisamente la orientacion de la colección de libros del IICES y CIMES  que inducen un tercer camino hacia la economía matematica y la econometria como  fase final de la teoria de la toma d edecisiones.

 En base a lo anterior, el “análisis combinatorio y la teoria de la probabilidad”  es el septimo libro de la colección comentada  que cubre en la parte  B  a la teoria de conjuntos seguuido de la parte C  que cubre los elementos iniciales del producto cartesiano expresado en relaciones y funciones.  En la parte D  iniciamos el análisis combinatorio, las permutaciones para finalizar en la parte E  con la teoria de la probabilidad.

 

TABLA DE CONTENIDO DE “ANÁLISIS COMBINATORIO Y TEORIA DE LA PROBABILIDAD”.

 

 

 

                                                                                                                                                                                      TEMA

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

B

 

 

TEORIA DE CONJUNTOS

3

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICION DE CONJUNTO

3

 

 

 

 

 

 

 

1

TAMAÑO  O  CARDINAL DE UN  CONJUNTO

4

 

 

2

PERTENENCIA   E   INCLUSION

6

 

 

3

CONJUNTO UNIVERSO  O  POBLACION

8

 

 

 

 

 

 

II

 

OPERACIONES DE CONJUNTOS

9

 

 

 

 

 

 

 

1

LA UNION DE CONJUNTOS

9

 

 

2

LA INTERSECCION DE CONJUNTOS

11

 

 

3

CONJUNTOS DISJUNTOS

13

 

 

4

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

14

 

 

5

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS 

15

 

 

6

DIFERENCIA SIMETRICA

16

 

 

7

EJERCICIOS  RESUELTOS

16

 

 

 

 

 

 

III

 

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL

 

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

17

 

 

2

EL ALGEBRA BOOLEANA

19

 

 

 

 

 

 

IV

 

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

RELACIONES  Y  FUNCIONES

33

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIÓN DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION, CON EJEMPLOS

36

 

II

 

DIAGRAMAS DE ARBOL

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

ANÁLISIS COMBINATORIO

44

 

 

 

 

 

 

I

 

INTRODUCCION

44

 

II

 

EJEMPLOS  DE ANÁLISIS COMBINATORIO

44

 

III

 

El  FACTORIAL DE UN NUMERO

54

 

IV

 

PERMUTACIONES

55

 

V

 

MUESTRAS ORDENADAS

60

 

VI

 

LOS COEFICIENTES BINOMICOS

61

 

VII

 

EL BINOMIO DE NEWTON

62

 

 

 

 

 

 

 

1

COMBINACIONES

64

 

 

2

EL BINOMIO DE NEWTON Y EJEMPLOS

65

 

 

 

 

 

 

VIII

 

EJERCICIOS RESUELTOS

67

 

IX

 

PROBLEMAS PROPUESTOS CON SUS RESPUESTAS

75

 

X

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

79

 

XI

 

COMBINACIONES  Y PARTICIONES ORDENADAS

81

 

XII

 

   PARTICIONES Y PARTICIONES CRUZADAS

83

 

 

 

 

 

 

 

1

PARTICIONES ORDENADAS

84

 

 

2

PROBLEMAS RESUELTOS

86

 

 

3

PROBLEMAS PROPUESTOS

104

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

PROBABILIDADES

108

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES BASICAS

112

 

II

 

REPASO DE ESPACIO MUESTRAL Y SUCESOS (EVENTOS)

119

 

III

 

ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD

121

 

IV

 

ESPACIOS EQUIPROBABLES

122

 

V

 

REPASO DE LOS TEOREMAS SOBRE PROBABILIDADES

124

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS: ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS (SUCESOS) (EVENTOS)

129

 

VII

 

PROBABILIDAD CONDICIONAL

145

 

VIII

 

REPASO DE  LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y EJERCICIOS RESUELTOS

152

 

IX

 

TEOREMA DE LA MULTIPLICACION PARA PROBABILIDAD CONDICIONAL

153

 

X

 

PROCESOS ESTOCASTICOS FINITOS Y DIAGRAMAS DE ARBOL

154

 

XI

 

REPASO DE   INDEPENDENCIA   Y  EJERCICIOS RESUELTOS

157

 

XII

 

PROBLEMAS RESUELTOS :  PROBABILIDAD CONDICIONAL EN ESPACIOS EQUIPROBABLES

159

 

XIII

 

  DEDUCCION DEL TEOREMA DE BAYES

171

 

XIV

 

AMPLIACIONES DEL CONCEPTO DE  INDEPENDENCIA

173

 

 

 

 

 

F

 

 

BIBLIOGRAFIA

182

 

 

 

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A          INTRODUCCION

 El presente  libro  es para ser utilizado en la Maestría en Matemática Aplicada a la Economía en lo concerniente a la nivelación matemática.  Sin embargo puede ayudar a estudiantes de ingeniería y ciencias económicas  a una mejor comprensión del calculo desde la perspectiva del nuevo milenio, en el sentido de las aplicaciones de software matemático como una herramienta de aprendizaje .   La aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

Una parte interesante de escribir un libro de calculo, radica en la simbología.    El  Mathcad facilita la escritura y edición de textos de matemática. “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL” en una variable ha sido elaborado con el Mathcad en la solución cuantitativa de problemas relacionados a limites, derivadas e integrales en una variable.  Presenta ademas matemática superior, y soluciones graficas de funciones en una y dos variables independientes, etc.

Se utilizó el editor del Mathcad  cuyos archivos fueron salvados en formato  htlm  para luego ser trasladado al Word para la redacción del texto.

Otro programa que ha sido utilizado en la elaboración de este texto es el “Equation Grapher”  que facilita gráficos en el plano cartesiano xy

  En el sentido anterior, el libro “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”  presenta  la solución de problemas sobre limites, continuidad, derivadas de funciones  polinomiales, algebraicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonometricas incluyendo las funciones inversas trigonometricas.  También se incluye el teorema fundamental del calculo y técnicas de integración por cambio de variable de las diversas funciones antes comentadas.       Es un texto  que no pierde el formalismo matemático a pesar de que algunos  teoremas no son demostrados, pero en las aplicaciones practicas de problemas resueltos mediante el análisis matemático  ayuda a  consolidar el aprendizaje teórico y practico del estudiante de calculo con el respaldo de importantes software de matemática.   Las aplicaciones del mathcad  y equation grapher  exige un cambio de la enseñanza de la matemática aplicada de la educación media y superior de Centroamérica.

 En el sentido antes descritos el libro en la parte B  se presenta la teoría de limites con ejercicios resueltos sobre las aplicaciones de los teoremas, se incluyen los fundamentos de las sucesiones y series.  En la parte C  estudiamos la continuidad  cuyos teoremas se respaldan con ejercicios resueltos de análisis matemático.   En la parte CH hacemos una introducción de las sucesiones y series  con el objetivo de preparar al Lector hacia el concepto del calculo integral.

 D  presentamos el concepto de derivada  y sus teoremas respaldados con aplicaciones del Mathcad y el software equation grapher, presentamos la regla de la cadena y sus aplicaciones en el calculo diferencial.   Seguidamente en la sección E cubrimos las derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonometricas incluyendo las inversas;  se presentan ejercicios resueltos sobre diferenciabilidad, continuidad, el teorema del valor medio, el teorema Rolle, el teorema de Bolzano y el teorema  de Lhospital.   En la parte F  analizamos  la teoría de la optimización clásica en una variable con los conceptos de funciones crecientes o decrecientes, máximos o mínimos, concavidades y puntos de inflexión.  En la parte G estudiamos algunas aplicaciones del calculo a la microeconomía  en lo relacionado a la optimización económica.  En la parte H  presentamos el concepto de  diferencial, y de antiderivadas con ejercicios resueltos, presentamos el operador sumatoria  y la integral definida y sus propiedades y ejercicios resueltos.  Seguidamente presentamos el teorema fundamental del calculo con ejercicios de análisis matemático resueltos.   El concepto de integral indefinida la presentamos con ejercicios resueltos  en integración que presentan funciones exponenciales, logarítmicas y  la  técnica de integración de cambio de variable;  también desarrollamos una extensión hacia las ecuaciones diferenciales.   En la parte I  concluimos con una introducción de funciones de varias variables y el concepto de derivada parcial.    En la parte J presentamos  un anexo de formulas del calculo integral  y finalmente presentamos la   Bibliografía.

 Vale mencionar mi agradecimiento a Dios Padre Nuestro Creador  por haberme permitido escribir a nivel de libros electrónicos los 35 libros que conforman la colección de libros de matemática, estadística, economía, econometria y finanzas aplicadas.   Textos disponibles en el CD del IICES   e  CIMES.  

 

 

 

 

 

TABLA  DE  CONTENIDO  DE  “INTRODUCCION AL CALCULO”

CON EL  EQUATION  GRAPHER  Y   EL MATHCAD

 

 

 

 

Página

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

B

 

 

EL  CALCULO  DE  LIMITES                                                                         

3

 

 

 

 

 

 

I

 

EL ORIGEN DEL  CALCULO                                                                      

3

 

 

 

 

 

 

 

1

REPASO DE LIMITES

5

 

 

2

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE FUNCIONES

6

 

 

 

 

 

 

II

 

TEOREMAS SOBRE LIMITES Y  PROBLEMAS RESUELTOS            

9

 

III

 

  EL LIMITE  UNILATERAL POR LA DERECHA                                        

15

 

IV

 

EL LIMITE  UNILATERAL POR LA  IZQUIERDA                                      

16

 

V

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES UNILATERALES                     

16

 

VI

 

LIMITES DE UNA FUNCION EN   INFINITO                                          

19

 

VII

 

UN LIMITE FUNDAMENTAL                                                                    

19

 

VIII

 

RESUMEN SOBRE LAS OPERACIONES CON LIMITES                            

20

 

IX

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE  LIMITES

22

 

X

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

SUCESIONES Y SERIES

68

 

 

 

 

 

 

I

 

NOTACIÓN SIGMA  (SUMATORIA)

68

 

II

 

LAS PROPIEDADES DE LA SUMATORIA    ( ∑ )

69

 

III

 

INTRODUCCION A LAS SUCESIONES Y SERIES

71

 

IV

 

LAS SERIES

76

 

V

 

LA   SERIE GEOMÉTRICA  Y  PROBLEMAS RESUELTOS

77

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CH

 

 

CONTINUIDAD

81

 

 

 

 

 

 

I

 

TIPOS DE DICONTINUIDADES                                                                  

82

 

II

 

TEOREMAS DE CONTINUIDAD                                                                

84

 

III

 

EJERCICIOS RESUELTOS  SOBRE CONTINUIDAD                                

85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

LA DERIVADA                                                                                            

101

 

 

 

 

 

 

I

 

CONCEPTOS  PRELIMINARES:  LA DIVISION DE LOS INCREMENTOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

101

 

II

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

105

 

III

 

LA  DERIVADA  DE UNA FUNCION

106

 

IV

 

DEFINICIÓN DE DERIVADA

107

 

V

 

CONTINUIDAD  Y DIFERENCIABILIDAD

110

 

VI

 

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN                                                                             

112

 

VII

 

TEOREMAS SOBRE DERIVADAS CON  PROBLEMAS RESUELTOS         

114

 

VIII

 

LA REGLA DE LA CADENA

116

 

IX

 

RENACIMIENTO Y MATEMÁTICAS MODERNAS

119

 

X

 

REPASO DE LAS FORMULAS DE DERIVACION

121

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS Y TRIGONOMETRICAS                                                                                      

122

 

 

 

 

 

 

I

 

DERIVADAS   DE   FUNCIONES EXPONENCIALES                                  

123

 

II

 

LA DERIVADA DE  LA FUNCION EXPONENCIAL DE BASE  e

123

 

III

 

LA REGLA DE LA CADENA EN DERIVADAS EXPONENCIALES                  

125

 

IV

 

LA FUNCION EXPONENCIAL    f(x) = k*er*x

126

 

V

 

LA DERIVADA DE LA  FUNCION  LOGARITMO  NATURAL

128

 

VI

 

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

129

 

VII

 

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

130

 

VIII

 

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

134

 

IX

 

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES

136

 

X

 

APLICACIONES DEL TEOREMA DE  L’HÔSPITAL.  EJERCICIOS RESUELTOS

145

 

XI

 

EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

158

 

XII

 

EL TEOREMA DE ROLLE

159

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

LOS OPTIMOS DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE

161

 

 

 

 

 

 

I

 

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

161

 

 

 

 

 

 

 

1

VERIFIQUE  LOS RESULTADOS GENERADOS POR LOS SOFTWARE

164

 

 

 

 

 

 

II

 

MAXIMOS    Y MINIMOS

168

 

III

 

EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

171

 

IV

 

MAXIMOS Y MINIMOS EN LOS EXTREMOS DEL INTERVALO

173

 

V

 

CONCAVIDADES Y PUNTO DE INFLEXION

175

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

EL CALCULO DIFERENCIAL APLICADO A LA ECONOMIA

179

 

 

 

 

 

 

I

 

LAS FUNCIONES DE PRODUCCION DE UNA VARIABLE                            

179

 

II

 

LA INTERPRETACION DE LA PRODUCCION MARGINAL DEL CAPITAL      

181

 

III

 

DEDUCCION  DE  LA PRODUCION MARGINAL DEL CAPITAL

        POR  MEDIO  DEL  EQUATION  GRAPHER                                                               

184

 

IV

 

LA  PRODUCCION EN FUNCION DEL EMPLEO Y LA PRODUCCION MARGINAL  DEL  EMPLEO                                                                                         

188

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

EL CALCULO INTEGRAL

191

 

 

 

 

 

 

I

 

LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

191

 

II

 

ANTIDERIVADAS

192

 

III

 

INTRODUCCION A LA  INTEGRACION

194

 

IV

 

LA INTEGRAL DEFINIDA                                

196

 

V

 

PROPIEDADES DE LA  INTEGRAL DEFINIDA

197

 

VI

 

EL  TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

198

 

VII

 

APLICACIONES  DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

201

 

VIII

 

VERIFICAR LOS SIGUIENTES RESULTADOS DE INTEGRACION DEFINIDA

204

 

IX

 

LA  INTEGRACION  INDEFINIDA

204

 

X

 

INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE

205

 

XI

 

INTEGRACION PARA FUNCIONES LOGARITMICAS

207

 

XII

 

  INTEGRACION DE FUNCIONES EXPONENCIALES

208

 

XIII

 

VERIFICAR EL RESULTADO DE LOS SIGUIENTES INTEGRALES RESUELTAS  POR MEDIO DEL MATHCAD  

210

 

XIV

 

FORMULAS DE INTEGRACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS POR MEDIO DEL MATHCAD   INCLUYENDO LAS INTEGRALES EXPONENCIALES  Y  LOGARITMICAS

211

 

XV

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE AREAS E INTEGRALES DEFINIDAS

211

 

XVI

 

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

222

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS  RESUELTOS

223

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

226

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

227

 

 

 

 

 

 

I

 

LIMITE DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES

227

 

II

 

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES

227

 

III

 

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES

 

 

IV

 

DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

227

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

ANEXO DE  FORMULAS DE INTEGRALES  

231

 

 

 

 

 

K

 

 

BIBLIOGRAFIA

234

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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A.        Introducción

El presente texto es parte de los libros de nivelación en matematica de los “PIMACS” (Postgrado en Investigacion y Matematica Aplicada a las Ciencias Sociales)[1]. Ademas de estos cinco Postgrados este libro es de nivelación para Ingenieria Estadistica en la especialidad de Confiabilidad y Riesgo.  Se pretende complementar  los conocimientos  algebraicos de los participantes del postgrado o egresados de educación media o superior interesados en incursionar en el área de la Matemática Aplicada a la Economía  física  o Ingenieria en Confiabilidad y Riesgo.  Ademas  el texto refuerza sus conocimientos en aplicaciones de softwares especiales que les permita consolidar sus aplicaciones matemáticas. 

Utilizaremos el demo  “Equation Grapher”, que contiene los análisis de funciones con  “Cálculo Diferencial e Integral”.  Sin pérdida de generalidad el “demo” contiene lo básico del software dado que los elementos teóricos se complementan con este texto.  Sin embargo el Participante puede comprar el programa completo, aproximadamente en 20 dólares.  El “Equation Grapher”.  Es un paquete matemático que  se puede adquirir  vía  internet. 

 

Los participantes pueden realizar cualquier gráfico de  funciones,  una vez que el Lector escribe la relación funcional, marca la tecla EXE y el gráfico se genera.  En el volumen de matemática básica (volumen II) cubriremos el cáculo diferencial e integral.  Los estudiantes revisarán los conceptos básicos de la matemática de Educación Media hacia la Educación Superior reforzando sus conocimientos con la aplicación de paquetes

matemáticos computarizados de tal manera puedan operar y visualizar los conceptos elementales del álgebra de los números reales, el álgebra de funciones, el álgebra lineal, el álgebra del cálculo diferencial e integral; en los tres volúmenes de matemática básica que el IICES e  CIMES[2] ha elaborado.

En esta primera carpeta de nivelación matemática de los PIMACS es un connjunto de cinco  libros: “LOGICA MATEMATICA, CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMERICOS”, “ALGEBRA DE FUNCIONES Y LIMITES”, “ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y BASES DE DATOS CON PAQUETES ESTADISTICOS” ,   “ALGEBRA LINEAL” y  “CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES”  con aplicaciones del Mathcad, SPSS, Excell y Equation Grapher.   Los cinco libros son un enfoque intuitivo de la matemática respaldada por los software ya comentados, se demuestran algunos teoremas sin perder la rigurosidad abstracta respaldada con ejercicios resueltos del análisis matematico .  Sin embargo en la bibliografía se presentan textos que son axiomáticos y que pueden favorecer el fortalecimiento de la lógica inductiva y deductiva del  Lector o Estudiante..

Aplicaciones del software matematico “Equation Grapher”

. Ya sea que el Participante utilice el “Equation Grapher” o alguna microcomputadora de la “Texas Instruments” el resultado en cuanto aprendizaje es equivalente.   El participante decide que paquete matemático  puede  utilizar en este proceso de enseñanza aprendizaje  

 

 

En el sentido antes descrito,  en la parte B  se desarrolla el producto cartesiano y sus operaciones, se incluyen videos de vectores en R2  y  el  plano cartesiano en las notación de conjuntos[3].   En la parte C  se cubre las relaciones y funciones en R2  dominio y rango  y se incluyen videos de YOUTUBE.   En la parte D se desarrolla las funciones polinomiales, igualdad de polinomios y sus operaciones de suma resta, multiplicación, con el complemento que generan los videos de YOUTUBE en el aprendizaje,  se presenta ejercicios resueltos. El concepto de polinomios se extiende a las funciones lineales, cuadráticas cubicas, operaciones entre estas formas de funciones polinomiales con sus respectivos graficos con el software Equation Grapher (existe un software equivalente el Graphmatica que se descarga gratis en Internet), se sigue con los ceros de un polinomio y su representación grafica con los software comentados,  las funciones polinomiales se extiende a las funciones crecientes y decrecientes, pares e impares con el complemento de los videos de Youtube por estos temas.

En la parte  E  se cubre las funciones racionales, asíntotas dominio y rango, con el complemento de videos y el desarrollo de graficos del Equation Grapher.

En la parte  F  se cubre las funciones  de valor absoluto  y sus propiedades y funciones por partes,  con las imágenes que general el Equation Grapher.  En todos los graficos anteriores se desarrolla los desplazamientos en los ejes absisa y ordenadas con imágenes del software comentado.   En la parte  G  seanaliza las funciones algebraicas con sus desplazamientos e imágenes con el software  y en todo lo anterior se siguen presentando los videos seleccionados de Youtube.   En la parte  H  se estudia las funciones exponenciales de cualquier base, en particular las de base 10  y la de base e.   se siguen presentando imágenes y tablas que genera el software, desplazamientos  y videos, en las funciones exponenciales se cubre la curva normal  y otras funciones especiales exponenciales, este concepto se extiende a las funciones uno a uno (inyectivas) y su extensión a las funciones inversas exponenciales o funciones logarítmicas con sus desplazamientos, dominio y rango, propiedades de las funciones exponenciales y logaritmicas.   En la parte I se desarrolla las funciones circulares o de enrrollamiento que generan a las funciones trigonométricas, angulos, cofunciones, identidades trigonométricas, funciones trigonométricas inversas y domio y rango con sus desplazamientos e imágenes del software Equation Grapher  y el complemento de los videos Youtube.

En la parte J se estudian los limites, asíntotas verticales y horizontales, graficos del software Equation Grapher y el complemento de los videos seleccionados de Youtube.  En la parte K se presenta la bibliografía.   Las citas al pie de pagina incluyen enlaces de Internet.       

Vale mencionar que los modelos de la Econometría, la Programación Lineal, y la  Economía Matemática,  lo constituye estos libros de matematica de nivelación ya comentados. Los graficos del equation Grapher se desarrollan en el lenguaje matematico de la programación de computadoras.

 Si en la era de las computadoras u ordenadores  “el análisis matemático y sus aplicaciones, sus  base de datos con sus variables[4]” se constituyen en los fundamentos de los sistemas de toma de decisiones incluyendo los modelos de fiabilidad con métodos de la econometría.  Agradezco a Dios Padre Nuestro Creador por haberme permitido escribir los 84 libros que conforman la pequeña biblioteca virtual del IICES  e  CIMES.

 

 

ALGEBRA DE FUNCIONES  Y  LIMITES

 con  graficos del paquete matemático  “Ecuación Grapher” .

 

 

 

TEMAS

 

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCIÓN

5

B

 

 

EL PRODUCTO CARTESIANO

9

 

 

 

 

 

 

I.

 

LA IGUALDAD DE PAREJAS ORDENADAS

10

 

II.

 

LA SUMA DE PAREJAS ORDENADAS

11

 

III.

 

LAS COORDENADAS CARTESIANAS

12

 

IV

 

VIDEOS  DE  VECTORES  EN  R2   Y  EL  PLANO  CARTESIANO

13

 

 

 

 

 

C

 

 

RELACIONES  Y  FUNCIONES CON PROBLEMAS RESUELTOS

14

 

 

 

 

 

 

I.

 

DEFINICION DE DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION,  EJEMPLOS

18

 

II.

 

EJERCICIOS RESUELTOS  SOBRE RELACIONES Y FUNCIONES

21

 

III.

 

EJERCICIOS PROPUESTOS 

25

 

IV.

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES

26

 

 

 

 

 

D.

 

 

LAS FUNCIONES POLINOMIALES

27

 

 

 

 

 

 

I.

 

EL GRUPO ABELIANO DE LOS POLINOMIOS.  PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS

28

 

 

 

 

 

 

 

1.

LA DEFINICION DE POLINOMIOS

28

 

 

2.

LA NOTACION  SUMATORIA   ∑

29

 

 

3.

PROPIEDADES  DE  LA  SUMATORIA   ∑ 

30

 

 

4

LOS POLINOMIOS  CON LA NOTACION SUMATORIA ∑

31

 

 

5.

LA  IGUALDAD DE  POLINOMIOS

 

31

 

 

6

GRADO  DE  UN  POLINOMIO  P(X)

32

 

 

7

EJEMPLOS  Y  EJERCICIOS  PROPUESTOS

33

 

 

8

SUMA  DE  POLINOMIOS

34

 

 

9

PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS

35

 

 

10

PROBLEMAS RESUELTOS 

36

 

 

11

LA  RESTA DE POLINOMIOS Y EJERCICIOS RESUELTOS 

43

 

 

12

VIDEOS  DE  ALGEBRA DE POLINOMIOS EN YOUTUBE

48

 

 

 

 

 

 

II.

 

 

 

EL PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA FUNCIÓN  POLINOMIAL

49

 

III.

 

LA MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES  POLINOMIALES

54

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICION FORMAL DEL PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS

57

 

 

2.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

58

 

 

3.

EJERCICIOS RESUELTOS 

59

 

 

4.

EJERCICIOS PROPUESTOS

62

 

 

5.

VIDEOS   DE  MULTIPLICACION  DE  POLINOMIOS

 

64

 

 

 

 

 

 

IV.

 

  LAS  FUNCIONES  LINEALES

 

66

 

 

1.

VIDEOS  DE  FUNCIONES LINEALES

75

 

V.

 

LAS FUNCIONES DE GRADO 2  Y GRÁFICOS

76

 

 

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  DE  GRADO  2

97

 

VI.

 

LAS FUNCIONES DE TERCER GRADO Y GRÁFICOS

98

 

 

 

VIDEOS DE FUNCIONES DE GRADO 3.                       

102

 

VII

 

LAS OPERACIONES Y GRAFICOS POLINOMIALES

103

 

VIII.

 

LOS CEROS DE UN POLINOMIO Y GRAFICOS CON PROBLEMAS RESUELTOS

114

 

 

 

VIDEOS  DE LOS CEROS  DE  UN  POLINOMIO

117

 

IX.

 

LAS FUNCIONES PARES E IMPARES CON PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

118

 

X.

 

 CRECIMIENTO  Y  DECRECIMIENTO DE FUNCIONES

121

 

XI.

 

LA COMPOSICION  DE  FUNCIONES

123

 

XII.

 

COCIENTES DE INCREMENTOS

128

 

XIII

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES

132

 

 

 

 

 

E.

 

 

LAS FUNCIONES RACIONALES

133

 

 

 

 

EJERCICIOS RESUELTOS Y GRAFICOS         

 

133

 

I.

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  RACIONALES

144

 

 

 

 

 

 

II.

 

EJERCICIOS DE EVALUACION

 

145

 

 

 

 

 

F.

 

 

LAS FUNCIONES ESPECIALES

 

146

 

 

 

 

 

 

I.

 

LA FUNCION VALOR ABSOLUTO

 

146

 

 

 

VIDEOS  DE  LA  FUNCION  VALOR  ABSOLUTO

155

 

II.

 

 EJERCICIOS DE EVALUACION

 

156

 

 

 

 

 

G.

 

 

LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS  CON PROBLEMAS RESUELTOS

156

 

 

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  ALGEBRAICAS

 

172

 

 

 

 

 

H

.

 

 

LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

 

173

 

I

 

GENERALIDADES

173

 

 

1

LA  FUNCION EXPONENCIAL  DE BASE  2

173

 

 

2

LA  FUNCION EXPONENCIAL  DE BASE  10

180

 

 

3

LA  FUNCION  EXPONENCIAL  DE  BASE  e

183

 

 

4

LA  FUNCION EXPONENCIAL 

185

 

 

5

LA  CURVA  NORMAL  ESTANDAR  

187

 

 

6

EJERCICIOS  DE  EVALUACION  DE  LAS  FUNCIONES  EXPONENCIALES

190

 

 

7

VIDEOS  DE  FUNCIONES EXPONENCIALES 

191

 

 

 

 

 

 

II.

 

 

LAS FUNCIONES  UNO  A  UNO

 

192

 

 

 

 VIDEOS DE FUNCIONES UNO A UNO

 

194

 

III.

 

LAS FUNCIONES INVERSAS

 

194

 

 

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  INVERSAS

 

198

 

IV.

 

LA   FUNCION  LOGARITMO  DE  BASE  10

 

199

 

V.

 

LA  FUNCION  LOGARITMO  DE  BASE   e

 

201

 

VI.

 

EJERCICIOS DE EVALUACION DE FUNCIONES INVERSAS

 

204

 

VII

 

VIDEOS DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

205

 

 

 

 

 

I

 

 

 

LAS  FUNCIONES CIRCULARES O DE  DE ENROLLAMIENTO

205

 

 

 

 

 

 

I.

 

DEFINICIONES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y ANGULOS

 

205

 

 

 

VIDEOS  DE  FUNCIONES  CIRCULARES

 

207

 

II.

 

LOS ANGULOS Y LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

 

209

 

III

 

COFUNCIONES

220

 

IV.

 

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

221

 

 

 

VIDEOS DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

223

 

V

 

LAS FUNCIONES SENO COSENO Y TANGENTE Y GRÁFICOS

224

 

 

 

VIDEOS DE LAS INVERSAS DEL SENO COSENO

230

 

VI

 

LA LEY DE LOS SENOS Y LA LEY DE LOS COSENOS

231

 

 

 

VIDEOS DE LA LEY DE LOS SENOS Y LEY DE COSENOS

232

 

VII

 

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

236

 

 

 

 

 

J

 

 

EL  CÁLCULO DE LÍMITES

237

 

 

 

 

 

 

I

 

EL  ORIGEN DEL CALCULO

237

 

II

 

EL LIMITE  Y  SU  DEFINICION FORMAL

241

 

 

 

VIDEOS  DE  LIMITE  Y SU DEFINICION

243

 

III

 

TEOREMAS DE LIMITES Y PROBLEMAS RESUELTOS

244

 

IV

 

EL  LIMITE  UNILATERAL  POR  LA DERECHA

251

 

V

 

EL  LIMITE  UNILATERAL  POR  LA  IZQUIERDA

252

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES UNILATERALES

253

 

VII

 

LIMITES DE UNA FUNCION EN INFINITO

255

 

VIII

 

UN LIMITE  FUNDAMENTAL

256

 

IX

 

RESUMEN SOBRE LAS OPERACIONES CON LIMITES

257

 

X

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LIMITES

258

 

XI

 

VIDEOS SOBRE LIMITES

278

 

 

 

 

 

K

 

 

BIBLIOGRAFIA

280

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1] Los PIMACS comprende cinco Maestrias entre ellas:  1. Maestria en  Economia y Finanzas,  2.  Maestria en Modelos en Decisiones Gerenciales,  3.  Maestria en Direccion Estrategica de los Recursos Humanos,  4. Maestria en Estadistica e Investigacion Socioeconomica,  y  5. Maestria en Matematica Aplicada a la Economia.  Todos los libros de los PIMACS  son elaborados por el CIMES  IICES  y todos contienen videos por temas.  Consulten el siguiente enlace  http://www.monografias.com/usuario/perfiles/jose_salomon_perdomo_mejia

   

[2] Vean la pagina de Jose Salomon Perdomo Mejia Rector del CIMES  IICES  en el enlace de monografías.com  http://www.monografias.com/usuario/perfiles/jose_salomon_perdomo_mejia

 

[3] El Lector o Estudiante debe haber estudiado los libros anteriores “LOGICA MATEMATICA, CONJUNTOS Y  SISTEMAS NUMERICOS”  ,  “EL ESPACIO VECTORIAL Y ANILLO DEL CONJUNTO DE  POLINOMIOS” y  “GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA”.  Libros editados por el IICES   CIMES  del Autor Jose Salomón Perdomo Mejia.  San Pedro Sula Honduras CA.

[4] Consultar el modulo anterior o Segundo libro “ESTADISTICA BASICA CON EL EXCELL Y EL SPSS”.

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  1. INTRODUCCION :

 

El presente libro es de nivelación matemática para las carreras técnicas en “INGENIERIA ESTADISTICA APLICADA A LA FIABILIDAD Y RIESGOS” e  “INGENIERIA ECONOMICA APLICADA A LAS FINANZAS Y RIESGOS”.  Es el primer libro de un total de diez que están disponibles en Paypal, para dichas carreras tecnicas.

El presente libro de “ALGEBRA DE POLINOMIOS Y METODOS DE FACTORIZACION” presenta un enfoque diferente a los textos tradicionales de factorización de polinomios, porque contiene videos por temas, videos seleccionados de YOUTUBE para facilitar el proceso de aprendizaje en la modalidad de educación a distancia y virtual, además presenta un enfoque de estructuras algebraicas al conjunto de polinomios.   Es decir,  El algebra de  los polinomios se desarrolla en la estructura de espacio vectorial y de anillo.  De esta manera se estudian los ceros o raíces  de un polinomio, concepto que nos lleva a   los principios  básicos de la factorización  y a la divisibilidad de polinomios.

En este sentido,  un anillo intuitivamente es un conjunto de números reales en el que podemos sumar, restar y multiplicar con las propiedades habituales[1].   En el conjunto de los polinomios es similar el concepto de anillo, interesa la suma de polinomios y sus propiedades de grupo abeliano (conmutativo), interesa la multiplicación de un numero por un polinomio y sus propiedades,  en conclusión las propiedades anteriores forman un espacio vectorial en el conjunto de los polinomios, y en ese sentido todo polinomio es un vector.   También es de  gran importancia la multiplicación de polinomios y sus propiedades.  Si  al  espacio vectorial de los polinomios le añadimos  las propiedades de la  multiplicación sobre el conjunto de los Reales decimos que tal conjunto de los polinomios forma un anillo conmutativo con unidad.

 De lo anterior  cubrimos  el binomio de Newton, la formula cuadrática, la diferencia de cuadrados,  la suma y diferencia de cubos  y sus consecuencias en la factorización de relaciones algebraicas (división de polinomios).   Recordando que  los coeficientes del binomio de newton son las bases del análisis combinatorio que conduce a la teoría de la probabilidad y además  del binomio de Newton se obtiene la función de probabilidad Binomial que es una fuente importante en la teoría de los grande números[2] y de el estudio de las series.   El  presente libro analiza los principales teoremas de la factorización tales como el “Teorema fundamental del algebra” el Lema de Gauss, la regla de Ruffini (división sintetica)”.    Seguidamente  analizamos las funciones polinomiales cuadráticas y sus gráficos mediante el software “Equation Grapher” y el “MathCad”,  el concepto de distancia entre dos puntos y la circunferencia y las figuras cónicas ( elipse, hipérbola y parábola)[3] 

 Un objetivo del libro es que los alumnos sean capaces de:  Distinguir cada caso de factores.  Decidir de manera correcta y de la forma más eficiente, cuál es el caso de factores que deben aplicar; y que lo sepan aplicar.   Identificar si un polinomio es primo o compuesto. Justificar cada paso que realizan, cuando se encuentren frente a un ejercicio en el cual deban aplicar más de un caso de factores y análisis funcional simple.

El objetivo general es que los alumnos puedan comprender a fondo el tema de los polinomios de una o más variables, saber por donde empezar, qué propiedad aplicar, y así poder lograr la factorización de un polinomio compuesto en un producto de polinomios primos. La idea es dejar esto muy claro, para que los alumnos no tengan demasiadas dudas cuando se enfrenten al ejercicio del análisis factorial y divisibilidad de polinomios.   Nuestra intención sería explicar ejercicios, lo más completos posibles, en sus cuadernos de trabajo, la corrección de los mismos se realizaría la clase siguiente en el pizarra u otras herramientas de enseñanza.  En esta oportunidad haríamos que los alumnos pasen al frente y expliquen como resolvieron el ejercicio y qué propiedades aplicaron en cada uno de ellos.   De esta manera lograríamos que los alumnos participen de la clase, y además también puede surgir que para un mismo ejercicio hayan alumnos que lo resuelvan manera distintas pero correctas. Y en este sentido estimular la creatividad algebraica de los Estudiantes o Lectores.

 

En resumen  el libro cubre   en la parte B  un análisis del espacio vectorial y anillo de los polinomios respaldado con teoremas demostrados sobre las propiedades de la suma de polinomios y producto de un numero  con un polinomio reforzado con ejercicios resueltos y propuestos, seguidamente estudiamos la multiplicación de los polinomios haciendo un enfoque formal de la definición, las propiedades de la multiplicación de polinomios no se demuestran pero se respaldan con ejercicios resueltos y propuestos.

En  la parte C  del libro presentamos la factorización de los polinomios como un proceso inverso de la multiplicación antes comentada, de esta manera desarrollamos el trinomio cuadrado perfecto, la factorización por complementación del trinomio cuadrado perfecto, el factor común por agrupación, la diferencia de cuadrados perfectos, factorización del binomio al cubo, el binomio de newton y sus propiedades, la factorización de suma de cubos y diferencia de cubos.  Todo lo anterior respaldada con ejercicios resueltos y propuestos.    En la parte D   estudiamos  el valor numérico, los ceros de un polinomio y los factores de un polinomio por medio de los ceros o raíces,  estudiamos y deducimos la formula cuadrática para encontrar ceros o raíces de un polinomio de grado 2 .  En la parte E estudiamos la factorización, divisibilidad y las ecuaciones racionales o división de polinomios y las diversas técnicas de simplificación de  esta relaciones, cubrimos el algoritmo de la división de polinomios y la división sintética o método de Ruffini.  Presentamos los principales teoremas para factorizar, los ceros de un polinomio, el teorema fundamental del algebra, los teoremas de Descartes, el producto cartesiano y el sistema de coordenadas cartesianas.  En la parte F  estudiamos las relaciones y funciones, la distancia entre dos puntos, las ecuaciones lineales en su forma estandar, forma pendiente intercepto y la forma pendiente punto, se demuestran algunos teoremas entre ellos el de la rectas paralelas.  Se estudian las rectas perpendiculares. Y las funciones cuadráticas.   En La parte G  presentamos las relaciones conicas: la circunferencia, la elipses, la parábola y la hipérbola.     

 [2] El Lector puede consultar los libros de estadística del IICES  e  CIMES:  ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA  CON EL EXCELL Y SPSS”  “LAS FUNCIONES DE PROBABILIDAD CON APLICACIONES DEL SPSS Y EL STATISTICA”, “ELEMENTOS DEL MUESTREO”, “ESTADÍSTICA APLICADA AL CONTROL DE CALIDAD CON APLICACIONES DEL MINITAB”, “LAS BASES DE LA ECONOMETRIA CON EL SPSS”, “ESTADÍSTICA ECONÓMICA CON MODELOS DE ECONOMETRIA”  y “MODELOS DE ECONOMETRIA Y PROPGRAMACION LINEAL.  Los libros anteriores disponibles en el CD  que contiene 35 libros de matemática, estadística, finanzas, econometría, economía etcétera.   

 

[3] El Lector puede consultar los libros del IICES  y el  CIMES    “GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA Y ANALITICA”  ,  “EL ALGEBRA DE FUNCIONES Y SUS LIMITES” , “EL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL”  EL ALGEBRA LINEAL CON EL MATHCAD Y EL EXCELL” Y ELEMENTOS DE LA PROGRAMACION LINEAL Y SUS APLICACIONES A LA MACROECONOMIA DE HONDURAS.  Estos libros disponibles en el CD antes comentado.

[4] En las propiedades de la suma de polinomios  vamos a recalcar la importancia de que la suma de polinomios forma un grupo abeliano.  Y lo iremos demostrando  como información general, aunque la demostraciones queda al criterio del profesor de la asignatura.

 

[5] El símbolo  *  representa la  multiplicación por ejemplo  2*3 = 6. 

 

[6] El conjunto    y sus propiedades de sus operación es las hemos estudiado en el libro anterior “LOGICA MATEMATICA Y SISTEMAS NUMERICOS”  Escrito por el IICES  y el  CIMES.

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  1. INTRODUCCION

 El enriquecimiento de esta introducción a la geometría y trigonometría ha sido posible gracias a las ideas obtenidas de Internet y del  libro de  Edwin Moisés  en su obra Geometría y del libro de Macgraw Hill de geometría analitica y geometría plana del Doctor Joseph Kindle.   Otros libros que aportan a la bibliografía son los del IICES  e CIMES consulte los 46 libros del CD  IICES  CIMES sobre textos de Educacion Superior).   El presente libro es posible gracias  a los apuntes de Jose Salomon Perdomo Mejia de la asignatura de Geometría y Trigonometría Plana y analítica desarrollada en la UNAH en M-111 (1977 _  1993).  El texto es un homenaje a los Doctores Salvador Llopis (QED 2008) Ibrahim Pineda (QED 2005) Carlos Oswaldo Perdomo Mejia (QED 1989) Jorge Molina (QED 2010) Ever Cristof (QED 2002)  y de  Benjamin Ustariz que en el 2012 se encuentra en el limite de su existencia.  Todos ellos aportantes de Geometria.

 El Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender una sola de sus palabras. Sin ese lenguaje, navegamos en un oscuro laberinto”.[1]     

La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del universo,  partiendo de los conceptos primitivos: puntos, rectas, planos, hacia la construcción de figuras mas complejas entre ellos los   polígonos, poliedros, curvas,  esferas, superficies, prismas, figuras conicas,  etc.     La geometría es una herramienta  para la solucion de problemas derivados de la industria de la construcción y ciencias exactas del area  de la ingenieria.   Se utiliza para solucionar problemas diversos  y es la justificación teórica de muchos instrumentos entre ellos: compás, teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de las aplicaciones de la geometría  es el uso de la regla y compás complementados  con modelos computarizados en la elaboración de  micro y macroproyectos dinamicos de la ingenieria global. 

El primer sistema axiomático fue el de Euclides.  Todo lo que se sabe de Euclides se debe a Proclo, el historiador de la matemática griega.

 

Proclo dice que Euclides nació en Grecia, a fines del siglo IV a. C., que estudió en la Academia, el centro de estudios fundado por Platón en el año 380 A. C. y que enseñó en Alejandria.   La obra por la que más se le conoce es “Elementos”, que durante más de  veinte siglos se consideró la base de los conocimientos matemáticos en todo el mundo y que todavía hoy se toma como fundamento de los cursos de Geometría.

Pitágoras sostuvo estudios de teoría de números y desarrolló métodos de demostración geométrica.

 

Entre los resultados importantes en su escuela de Pitágoras aparte del teorema que lleva su nombre, se encuentra la demostración de que el número  (pi) es irracional (Hipasus). Dentro de sus descubrimientos matemáticos sobresalen: la construcción de los sólidos regulares o platónicos y la teoría de las proporciones (Proclo).

Arquimides  Fue uno de los más grandes pensadores de la antigüedad y uno de los matemáticos más originales de todos los tiempos.

 

Es conocido por muchos inventos tales como los engranajes con ruedas dentadas, el uso de las palancas en catapultas militares, el tornillo sin fin, el principio de Arquímedes referente a los cuerpos flotantes, los espejos parabólicos gigantes y muchos más.

 

Hipatia Nació en el año 370 en Alejandría.  La primera mujer matemática que menciona la Historia.

 

Hipatia, Hija de Teón de Alejandría, conocido por haber editado y comentado la versión de los Elementos de Euclides que ha llegado hasta la época actual. Hipatia es recordada por sus comentarios acerca de la obra de Arquímedes.  Fue lal última de los científicos que trabajó en la Biblioteca

Renato Descartes 1596 –1650

 

filosofo y matematico, un gran genio de la ciencia, en el area del algebra de polinomios presento importantes aportes que llevan su nombre, tambien es el padre de la geometria analitica en donde unifica el algebra con la geometria de Euclides.

El matematico ruso  Nicolai Lobachevsky,  publico en 1829, un artículo con el cual fundó la Geometría No Euclidiana, al mostrar que una geometría consistente podía ser construida en la que no figurase el Quinto Postulado de Euclides.

 

Nicolai Lobachevsky Publicó varios libros, entre los que se encuentran Nuevos fundamentos de Geometría (1835-38), Investigaciones geométricas sobre la Teoría de las Paralelas (1840). Al mismo tiempo que Lobachevsky, Janos Bolyai, matemático húngaro, obtenía resultados similares. Después se descubrió que Gauss se había anticipado a muchos de tales resultados pero se abstuvo de publicarlos.

 

 

Hilbert, Matemático alemán quien estableció el primer conjunto riguroso de axiomas geométricos en Fundamentos de la Geometría (1899). También probó que su sistema era autoconsistente.

       

La axiomatizacion es una herramienta del lenguaje de las ciencias, permite analizar combinaciones de los terminos primitivos e inducir importantes conclusiones.  Prácticamente la axiomatizacion es un modelo de pensamiento cientifico para analizar principios, causas y efectos para la mejor toma de decisiones.  Se parte de tres conceptos primitivos que son el punto, la recta y el plano  y  en las combinaciones de los terminos primitivos se distinguen tres tipos de  proposiciones o enunciados: los axiomas, las definiciones, los teoremas y corolarios.  De esta manera la parte B presenta los conceptos basicos de la geometría y su sistema axiomatico, en la parte C presentamos los poligonos, en la parte D los circulos y los arcos, en la parte E los cuerpos y solidos,  en la parte F los volúmenes.   En el sentido anterior el objetivo de este libro es dotar al estudiante de educacion media y superior, de un  modelo inductivo deductivo sustentado en la geometría plana axiomatizada que complemente y fortalezca sus conocimientos  en las ciencias exactas y sociales.    Se complementa el libro con elementos de geometría analitica, el plano cartesiano, la distancia entre dos puntos, la linea recta y sus diversas formas de ecuaciones,  las figuras conicas  y las funciones trigonometricas con sus inversas y aplicaciones en la resolucion de triangulos.   Se presentan en ambas partes diversos ejercicios resueltos que respaldan los contenidos axiomaticos del texto.

 Agradezco a Dios padre Nuestro Creador, por haberme dado la oportunidad de elaborar este texto y los 46 libros restantes que conforman una pequeña biblioteca de libros de matematica, economía, finanzas, estadística, econometria y aplicaciones de modelos de programación lineal en la macroeconomia complementando la biblioteca con los temas de la pobreza.

 

TABLA DE CONTENIDO DE GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA PLANA CON GEOMETRIA ANALITICA.

 

 

 

 

Pagina

 

 

 

 

 

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

B

 

 

CONCEPTOS BASICOS  DE GEOMETRÍA

3

 

 

 

 

 

 

I

 

TERMINOS PRIMITIVOS  Y  RELACIONES 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

EL PUNTO

3

 

 

2

LA RECTA

3

 

 

3

EL PLANO

4

 

 

 

 

 

 

II

 

LA ESTRUCTURA LOGICA DE LA GEOMETRIA  

5

 

 

 

 

 

 

 

1

LA PROPOSICION

5

 

 

2

LOS AXIOMAS

5

 

 

3

EL TEOREMA

6

 

 

4

EL COROLARIO

6

 

 

 

 

 

 

III

 

LOS SEGMENTOS

8

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPIEDADES DE LOS SEGMENTOS:

8

 

 

2

SEGMENTOS CONSECUTIVOS

9

 

 

3

LA SUMA DE SEGMENTOS

10

 

 

4

PROPIEDADES DE LA SUMA DE SEGMENTOS

10

 

 

5

MULTIPLICACION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

11

 

 

6

LEY DE COMPOSICION EXTERNA

13

 

 

7

DIVISION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO NATURAL

13

 

 

8

PROPIEDADES DE LA DIVISION DE UN SEGMENTO POR UN NUMERO  NATURAL

13

 

 

 

 

 

 

IV

 

PRINCIPIOS DE LA GEOMETRIA AXIOMATICA

14

 

 

 

 

 

 

 

1

CONCEPTOS BASICOS

14

 

 

2

CONJUNTOS CONVEXOS

19

 

 

 

 

 

 

V

 

LOS  ANGULOS

22

 

 

 

 

 

 

 

1

LA MEDIDA DE ANGULOS

25

 

 

2

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

26

 

 

3

SEGMENTO Y ANGULO

26

 

 

4

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

26

 

 

5

PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS

28

 

 

 6

LA  SUMA DE LOS ANGULOS  ES UNA LEY DE COMPOSICION INTERNA

31

 

 

7

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS ANGULOS

31

 

 

8

DIFERENCIA DE ANGULOS

34

 

 

9

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE ANGULOS

35

 

 

10

OTRAS DEFINICIONES, TEOREMAS Y EJEMPLOS

37

 

 

11

PROBLEMAS RESUELTOS

45

 

 

12

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS  Y SUS RESPUESTAS

50

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

LOS POLIGONOS

53

 

 

 

 

 

 

I

 

LOS TRIANGULOS

55

 

II

 

CONGRUENCIA  DE TRIANGULOS

58

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ENFOQUE AXIOMATICO

58

 

 

2

PROBLEMAS RESUELTOS

61

 

 

 

 

 

 

III

 

SEMEJANZA  Y  LA  IGUALDAD DE TRIANGULOS

66

 

 

 

 

 

 

 

1

EL ENFOQUE AXIOMATICO   

66

 

 

2

PROBLEMAS  RESUELTOS Y  COMPLEMENTARIOS

68

 

 

3

PROBLEMAS  SUPLEMENTARIOS Y SUS RESPUESTAS

74

 

 

4

PROPIEDADES DE  LA CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

78

 

 

5

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE  TRIANGULOS

 

 

 

6

LA IGUALDAD O CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS

 

 

 

 

 

 

 

IV

 

LOS CUADRILATEROS

83

 

 

 

 

 

 

V

 

PERÍMETRO DE POLÍGONOS

86

 

 

 

 

 

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LOS CUADRILATEROS Y PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS CON RESPUESTAS

87

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

CIRCULOS Y ARCOS.

89

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES

89

 

II

 

TEOREMAS SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL ARCO

98

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

99

 

IV

 

AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS

101

 

 

 

 

 

 

 

1

DEFINICIONES

101

 

 

 

 

 

 

V

 

PROBLEMAS RESUELTOS Y SUPLEMENTARIOS

102

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

CUERPOS SÓLIDOS

109

 

 

 

 

 

 

I

 

PLANOS DEL ESPACIO

109

 

II

 

PRISMAS Y CILINDROS

110

 

III

 

PIRAMIDES Y CONOS

114

 

IV

 

ESFERAS

116

 

 

 

 

 

F

 

 

VOLUMENES

117

 

 

 

 

 

 

I

 

COMENTARIOS

117

 

II

 

FORMULAS PARA EL CALCULO DE VOLUMENES

117

 

III

 

PROBLEMAS RESUELTOS

118

 

IV

 

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

INTRODUCCION A LAS RELACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

130

 

 

 

 

 

 

I

 

EL PRODUCTO CARTESIANO

130

 

II

 

LAS  COORDENADAS CARTESIANAS

131

 

III

 

LAS RELACIONES Y LAS FUNCIONES   LINEALES Y CUADRATICAS.

132

 

 

 

 

 

 

 

1

RELACIONES  Y  FUNCIONES:  PROBLEMAS RESUELTOS

132

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

137

 

 

 

 

 

 

IV

 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

138

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LA DISTANCIA DE PUNTOS

138

 

 

2

PROBLEMAS PROPUESTOS

141

 

 

 

 

 

 

V

 

LAS RELACIONES  Y   FUNCIONES LINEALES FORMA ESTANDAR

142

 

 

 

 

 

 

 

1

LA ECUACION LINEAL  FORMA PENDIENTE INTERCEPTO Y FORMA PENDIENTE PUNTO.

146

 

 

2

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

149

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

153

 

 

 

 

 

 

VI

 

LAS FUNCIONES  CUADRATICAS Y EJEMPLOS  GRAFICOS

 

155

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

LAS  RELACIONES CONICAS

160

 

 

 

 

 

 

I

 

LA CIRCUNFERENCIA

162

 

 

 

 

 

 

 

1

LAS FUNCIONES SEMICIRCULARES

163

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

166

 

 

 

 

 

 

II

 

LA   ELIPSE Y EJERCICIOS RESUELTOS 

170

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

176

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

177

 

 

3

LAS LEYES DE KEPLER

178

 

 

 

 

 

 

III

 

LA HIPERBOLA  CON  EJEMPLOS

179

 

 

 

 

 

 

 

1

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS SOBRE LA HIPERBOLA

185

 

 

 

 

 

 

IV

 

LA PARABOLA  CON   EJEMPLOS

188

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

191

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

194

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

LOS ANGULOS Y  LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

195

 

 

 

 

 

 

I

 

DEFINICIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y  ÁNGULOS

195

 

II

 

FUNCIONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

199

 

III

 

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES

200

 

IV

 

COFUNCIONES

202

 

V

 

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

202

 

VI

 

LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS

203

 

 

 

 

 

 

 

1

LA FUNCION SENO 

203

 

 

2

LA FUNCION ARCSENO

204

 

 

3

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

206

 

 

4

LA FUNCION COSENO

207

 

 

5

LA FUNCION  ARCCOSENO

208

 

 

6

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

209

 

 

7

LA FUNCION TANGENTE

210

 

 

 8

LA FUNCION  ARCTANGENTE

211

 

 

9

EMPLEO DE LA CALCULADORA EN APLICACIONES

212

 

 

10

EJERCICIOS DE EVALUACION

214

 

 

 

 

 

 

VII

 

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE ENROLLAMIENTO

215

 

 

 

 

 

 

 

1

LEY DE LOS  SENOS

216

 

 

2

LEY DE LOS  COSENOS

216

 

 

3

PROPIEDADES DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS

217

 

 

 

 

 

 

VIII

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE TRIANGULOS    

217

 

IX

 

EJERCICIOS RESUELTOS  Y EJERCICIOS PROPUESTOS

224

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE LA LEY DEL COSENO

229

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE TEOREMA DE LA LEY DEL SENO

234

 

 

 

 

 

 

X

 

PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE RESOLUCION DE TRIÁNGULOS    RECTÁNGULOS

238

 

XI

 

CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES

245

 

 

 

 

 

I

 

 

BIBLIOGRAFIA

248

 

 

[1] Galileo Galilei.

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LOGICA MATEMATICA, CONJUNTOS Y SISTEMAS NUMERICOS

.               INTRODUCCION

 Esta es la tercera edición de “LOGICA Y SISTEMAS NUMERICOS”  con recursos del IICES  e  CIMES.  La edición anterior ha sido posible gracias al INTEC “Instituto Internacional Tecnológico” que conserva los derechos de explotación de esa edición.  En esta edición se amplia la historia del origen y fortalecimiento de la lógica matemática, se hace  mayor abstracción de la simbología de la Lógica, se mejora el modulo sobre la transformación de un sistema binario al sistema decimal y viceversa.  Además se amplían los números naturales sobre los comentarios de los axiomas de Peano y el principio de inducción matemática, en la teoría de conjuntos se hace una mejor interrelación entre la lógica y las operaciones entre conjuntos ampliándose los conceptos de los cuantificadores  se mejora los análisis sobre el conjunto de los números racionales e irracionales y los números reales y  se le añade  los aspectos generales de los  números complejos.

 La lógica matemática, o teoría del algebra de proposiciones se constituye en un lenguaje que permite la construcción matemática de la teoría de conjuntos generalizada en sus diversas aplicaciones.  Proporciona además  las bases del análisis matemático y topológico  en las diversas demostraciones de teoremas y corolarios proporcionando estructuras analíticas y cientificas para las  ciencias  sociales y exactas.

 A nivel de  la programación de computadoras, el algebra de proposiciones y el algebra de conjuntos  proporciona las bases del álgebra de boole que permite la estructuración de la programación de computadoras.   Otra aplicación de la lógica matemática y teoría de conjuntos en lo referido al algebra booleana  radica  en las aplicaciones  en el algebra de los circuitos electrónicos.

 La simbología de la filosofía matemática dentro de la teoría de conjuntos proporciona las bases de la estadística en sus aplicaciones de la teoría del muestreo, el control estadístico de la calidad y teoría de la toma de decisiones en base a modelos de predicción.

 El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano y científico.

 Lo importante del tema  es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia,  siendo la lógica matemática la  encargada del estudio del algebra de proposiciones que proporciona la base de las construcciones de los argumentos validos  y estructuras lógicas equivalentes.   Hoy en día, la lógica proposicional, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática.   Además, aprender matemática, física y química "es muy difícil"; así se expresan la mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: "Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real".   Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la "lógica matemática ", él sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva . Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación,  física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y  utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.

En este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver n problema determinado.

Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.

En el sentido antes descrito, en la parte B  el libro contiene los fundamentos de la logica matemática: proposiciones y tablas de verdad, los conectores lógicos, las leyes de la logica de proposiciones, los circuitos booleanos, las funciones proposicionales y cuantificadores,  argumentos e implicación lógica. 

 En la parte C se cubre la teoría de conjuntos: definición de conjuntos, operaciones de conjuntos, relación entre la teoría de conjuntos y la lógica proposicional.  En la parte D cubrimos los sistema  numéricos: introducción a la numeración,  en la parte E  estudiamos el sistema binario y el sistema decimal, en la parte F analizamos el conjunto de los números naturales,  sus propiedades y representación en la recta numérica, en la parte G cubrimos el conjunto de los números enteros y sus propiedades y representación grafica en la recta.  Los números racionales, los decimales periódicos, sus propiedades   y representación en la recta numérica.  En la parte J estudiamos los números irracionales  o decimales no periodicos.  Los números reales y sus propiedades, valor absoluto y sus propiedades, los intervalos y los sistemas de desigualdades los estudiamos en la parte K.  Los números complejos y sus propiedades los cubrimos en la parte L.  La bibliografía del IICES e IIMES  en parte M.

 Agradecemos a Dios Padre nuestro Creador, por habernos permitido la elaboración de los 35 libros del IICES e IIMES, pidiéndole nos de la oportunidad de elaborar o escribir otras libros de matemática, economía y finanzas.   

 

 

I      ORIGEN DE LA LOGICA MATEMATICA Y SU FORTALECIMIENTO

 El nacimiento de la lógica propiamente dicho está directamente relacionado con el nacimiento intelectual del ser humano. La lógica emerge como mecanismo espontáneo en el enfrentamiento del hombre con la naturaleza, para comprenderla y aprovecharla. Poncairé destaca cinco etapas o revoluciones en ese proceso que se presentan entre dos grandes tópicos: del rigor y la formalidad, a la creatividad y el caos. Las etapas se identifican como: Revolución Matemática, Revolución Científica, Revolución Formal y Revolución Digital además de la próxima y prevista Revolución Lógica.

 La lógica matemática cuestiona con rigor los conceptos y las reglas de deducción utilizados en matemáticas lo que convierte la lógica en una especie de metamatemática. Una teoría matemática considera objetos definidos -enteros, por ejemplo- y define leyes que relacionan a estos objetos entre sí, los axiomas de la teoría. De los axiomas se deducen nuevas proposiciones -los teoremas-, y a veces, nuevos objetos. La construcción de sistemas formales -formalización, piedra angular de la lógica matemática-, permite eliminar la arbitrariedad en la elección de los axiomas y definir explícita y exhaustivamente las reglas de la deducción matemática.

 Del año 600 aC hasta 300 aC se desarrollan en Grecia los principios formales de las matemáticas. Este periodo clásico lo protagonizan Platón, Aristóteles y Euclides. Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático. En los Elementos Euclides organiza las pruebas deductivas de que dispone dentro de una estructura sistemática, rigurosa, altamente eficaz.

 Platón, 427aC - 347 aC, propone instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que no era solo una institución filosófica, sino centro de formación política para jóvenes aristócratas. Según algunos especialistas, Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de justificar el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos mundos -el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según Platón, lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge el formato diálogo como forma de transmisión del pensamiento.

 Los tratados de lógica de Aristóteles, 384aC - 332 aC, conocidos como Organón, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia. Aristóteles no hace de la lógica una disciplina metafísica sino que establece correspondencias recíprocas entre pensamiento lógico y estructura ontológica. El silogismo fue adoptado por los escolásticos que representan el sistema teológico-filosófico, característico de la Edad Media. La escolástica, sin embargo, acabó por sobrecargar la teoría del silogismo, lo que acarreó su descrédito a partir del Renacimiento. Los lógicos de la edad moderna como Ramée, Arnauld, Nicole, Leibniz, Euler, y Lambert procuraron simplificarla al máximo, y su tratamiento matemático se completó hasta principios del siglo XX con Boole, De Morgan, Frege y Russell. Desde entonces el silogismo se incluye en la lógica de predicados de primer orden y en la lógica de clases, y ocupa en la ciencia lógica un papel mucho menor que en otros tiempos.

 Euclides matemático alejandrino autor de la universal obra, los célebres Elementos. Uno de los textos matemáticos más relevantes de la historia del pensamiento científico hasta del siglo XIX. Los Elementos están divididos en XIII Libros y constituyen la recopilación más exhaustiva de las matemáticas conocidas en el año 300 aC. Su valor universal lo propaga el uso riguroso del método deductivo que distingue entre principios -definiciones, axiomas y postulados-, y teoremas, que se demuestran a partir de los principios. A lo largo de la historia se mantuvo la sospecha de que el quinto postulado era demostrable a partir de los anteriores. El deseo de resolver tal hipótesis ocupa hasta el siglo XIX con la construcción de las geometrías no euclidianas y se deduce con ellas la imposibilidad de demostrar el quinto postulado.

 La obra de Apolonio de Perga  sobre curvas cónicas de Apolonio de Perga, «un geómetra de la época helenística-, inicialmente dirigido a euclidianos exquisitos, se convirtió en manual para balísticos del Renacimiento como Tartaglia y, poco después, en base inmediata de la dinámica newtoniana.

 La ciencia matemática  ante el retroceso de la escuela clásica de los griegos se presentan periodos de autoridad religiosa. El Renacimiento es el inicio de una nueva revolución que revive la ciencia y las matemáticas. Los representantes más destacados son Descartes, Newton y Leibniz. Este periodo abarca del año 1500dC al 1800 dC.

 René Descartes filósofo y matemático francés, 1596-1650, parte de la duda universal como principio y prescinde de cualquier conocimiento previo que no quede demostrado por la evidencia con que ha de manifestarse el espíritu. Descartes duda de toda enseñanza recibida, de todo conocimiento adquirido, del testimonio de los sentidos e incluso de las verdades de orden racional. Llegado a este punto, halla una verdad de la que no puede dudar: la evidencia interior que se manifiesta en su propio sujeto («pienso, luego existo»). Como científico, se debe a Descartes, entre otras aportaciones de considerable importancia, la creación de la geometría analítica a la vez que aporta un corpus cuantitativo al asunto y permite el uso de métodos algebraicos. La geometría exige ser cuantitativa para ser usada en ciencia e ingeniería, y los métodos algebraicos permiten el desarrollo más rápido que los métodos sistemáticos -a su vez más rigurosos- requeridos por el enfoque axiomático de la geometría clásica. Ubi dubium ibi libertas, donde hay duda hay libertad.

 Isacc Newton   1642-1727.   Se le debe el descubrimiento de la gravitación universal, el desarrollo del cálculo infinitesimal e importantes descubrimientos sobre óptica, así como las leyes que rigen la mecánica clásica que alimentaría el nacimiento de la mecánica cuántica. Su obra fundamental, Principios matemáticos de la filosofía natural (1686).

 Gottfried W. Leibniz   filósofo y matemático alemán, 1646-1716; fundó la Academia de Ciencias de Berlín, 1700. En Discurso sobre el arte combinatorio enuncia la necesidad de un lenguaje riguroso, exacto y universal puramente formal. Como matemático, su principal trabajo publicado en 1684 es la memoria Nuevo método para la determinación de los máximos y los mínimos, en la que expone las ideas fundamentales del cálculo infinitesimal, anticipándose unos años a Newton. La notación que empleó es particularmente cómoda y se sigue utilizando con algunas modificaciones; introdujo el símbolo de integral y de diferencial de una variable. En el área de lógica matemática publica Generales inquisitiones de analysi notionum et veritatum y Fundamenta calculi logici .

 Georg Wilhelm Friedrich Hegel   Filósofo alemán, 1770-1831; fascinado por la obra de Kant y de Rousseau. Autor de Ciencia de la lógica se le atribuye con este trabajo la constitución de la lógica dialéctica entendida como principio motor del concepto que disuelve y produce las particularidades de lo universal.

 Nikolai I. Lobachevsky   matemático ruso, 1792-1856; funda la Geometría No Euclidiana y renueva por ello los fundamentos que hasta ese momento cimentaban la ciencia de la Geometría. Lobachevsky  lleva a cabo su revolución en el planteamiento que hasta entonces había utilizado la ciencia Matemática para resolver el enigma del quinto postulado de Euclides que a su vez sirve de puerta a Lobachevsky para adentrarse en los renovados campos de lo físico y lo real.

TABLA DE CONTENIDO   “LOGICA MATEMATICA Y  SISTEMAS NUMERICOS”

 

 

 

 

                                      TEMAS

Pagina

A

 

 

INTRODUCCION

1

 

 

 

 

 

 

I     

 

ORIGEN DE LA LOGICA MATEMATICA Y SU FORTALECIMIENTO

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

LOS FUNDAMENTOS DE LA  LOGICA MATEMATICA  

6

 

 

 

 

 

 

I

 

PROPOSICIONES   Y   TABLAS DE VERDAD

6

 

 

 

 

 

 

 

1

EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES

7

 

 

2

PROPOSICIONES  ABIERTAS

7

 

 

3

PROPOSICIONES COMPUESTAS

7

 

 

 

 

 

 

II

 

LOS CONECTORES LOGICOS

8

 

 

 

 

 

 

 

1

LA CONJUNCION

8

 

 

2

LA   DISYUNCION

9

 

 

3

LA  NEGACION DE PROPOSICIONES

10

 

 

4

PROBLEMAS RESUELTOS

11

 

 

 

 

 

 

III

 

IMPLICACION O CONDICIONAL, p → q

18

 

IV

 

BICONDICIONAL, p Û q

20

 

V

 

ENUNCIADOS CONDICIONALES Y VARIACIONES

21

 

VI

 

PROBLEMAS RESUELTOS

22

 

VII

 

LA DIFERENCIA SIMETRICA.

28

 

VIII

 

TAUTOLOGIA CONTRADICCION Y CONTINGENCIA

29

 

IX

 

ALGUNAS REGLAS DE INFERENCIA

31

 

X

 

EQUIVALENCIA LÓGICA

32

 

XI

 

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

33

 

 

 

 

 

 

 

1

IDEMPOTENCIA

33

 

 

2

CONMUTATIVIDAD

33

 

 

3

ASOCIATIVIDAD

33

 

 

4

DISTRIBUTIVAS

33

 

 

5

LEYES DE MORGAN

34

 

 

6

LEYES DE COMPLEMENTACION

34

 

 

 

 

 

 

XII

 

LEYES DE LA LOGICA DE PROPOSICIONES  (RESUMEN) 

35

 

 

 

 

 

 

XIII

 

CIRCUITOS LOGICOS  O  BOOLEANOS

39

 

 

 

 

 

 

 

1

LA CONJUNCION

39

 

 

2

LA DISYUNCION

40

 

 

3

LA  IMPLICACION

40

 

 

4

DIFERENCIA SIMETRICA

40

 

 

 

 

 

 

XIV

 

FUNCIONES PROPOSICIONALES   Y  CUANTIFICADORES.

41

 

 

 

 

 

 

 

1

FUNCION PROPOSICIONAL

41

 

 

2

LOS  CUANTIFICADORES

42

 

 

3

COMPLEMENTACION DE LOS CUANTIFICADORES

43

 

 

 

 

 

 

XV

 

ARGUMENTOS E IMPLICACION  LOGICA

43

 

 

 

 

 

 

 

1

ARGUMENTOS

43

 

 

2

IMPLICACION LOGICA

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

TEORIA DE CONJUNTOS

46

 

 

 

 

 

 

I

 

 CONJUNTO

46

 

 

 

 

 

 

 

1

TAMAÑO  O  CARDINAL DE UN  CONJUNTO

47

 

 

2

PERTENENCIA   E   INCLUSION

50

 

 

3

CONJUNTO UNIVERSO  O  POBLACION

52

 

 

 

 

 

 

II

 

OPERACIONES DE CONJUNTOS

53

 

 

 

 

 

 

 

1

LA UNION DE CONJUNTOS

53

 

 

2

  LA INTERSECCION DE CONJUNTOS

55

 

 

3

CONJUNTOS DISJUNTOS

57

 

 

4

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

58

 

 

5

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS 

58

 

 

6

DIFERENCIA SIMETRICA

59

 

 

7

EJERCICIOS  RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

60

 

 

 

 

 

 

III

 

RELACION ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL

61

 

 

 

 

 

 

 

1

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

61

 

 

2

EL ALGEBRA BOOLEANA

62

 

 

 

 

 

 

IV

 

   PROBLEMAS RESUELTOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

63

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

LOS SISTEMAS NUMERICOS

77

 

 

 

 

 

 

I

 

INTRODUCCION A LA NUMERACIÓN

77

 

 

 

 

 

 

 

1

EL SISTEMA DE NUMERACION CHINO

77

 

 

2

EL SISTEMA DE NUMERACION GRIEGO

78

 

 

3

  EL SISTEMA DE NUMERACION BABILONICO

79

 

 

4

EL SISTEMA DE NUMERACION MAYA

80

 

 

5

EL SISTEMA NUMERICO ROMANO

85

 

 

6

EL SISTEMA NUMERICO ARABIGO

88

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

EL  SISTEMA  DECIMAL Y EL SISTEMA BINARIO

89

 

 

 

 

 

 

I

 

SISTEMA DECIMAL  

89

 

II

 

SISTEMA BINARIO

94

 

III

 

OPERACIONES CON LOS NUMEROS BINARIOS

 

 

 

 

 

 

 

 

1

CAMBIOS DE BASE DE NUMERACION 

98

 

 

2

CONVERSION DE UN NUMERO DECIMAL A UN NUMERO BINARIO

100

 

 

3

FORMATOS BINARIOS

102

 

 

4

OPERACIONES EN EL SISTEMA BINARIO

102

 

 

5

MEDIDAS DE ALMACENAMIENTO DE LA INFORMACION

106

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

   CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES   ¥  Y   ¥*

107

 

 

 

 

 

 

I

 

PROPIEDADES DEL CONJUNTO    ¥*

108

 

II

 

PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA

109

 

III

 

RELACION DE ORDEN EN  ù   y   ù*

110

 

 

 

 

 

 

 

1

LA RELACION MAYOR O IGUAL QUE     ≥

111

 

 

2

LA RELACION MENOR  O IGUAL QUE     ≤

112

 

 

3

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD EN LOS NUMEROS NATURALES

112

 

 

4

PROPIEDADES DE LA RELACION DE ORDEN EN LOS NATURALES

113

 

 

5

AUTOEVALUACION

113

 

 

 

 

 

 

IV

 

REPRESENTACION GRAFICA DEL CONJUNTO   ù   y  ù*

114

 

V

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

117

 

VI

 

LAS OPERACIONES EN LOS NUMEROS NATURALES Y EL ORDENAMIENTO

118

 

VII

 

OPERATORIA  EN  LOS NUMEROS  NATURALES    ¥  Y  ¥*

118

 

 

 

 

 

 

 

1

   ADICION O SUMA EN LOS NUMEROS NATURALES

118

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS

119

 

 

3

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NATURALES

 

120

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

121

 

 

5

SUSTRACCION O RESTA DE NUMEROS NATURALES

122

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS

123

 

 

7

MULTIPLICACION O PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES

123

 

 

8

  PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE NUMEROS NATURALES

125

 

 

9

DIVISION DE NÚMEROS NATURALES

128

 

 

10

OPERACIONES COMBINADAS. JERARQUIA DE LAS OPERACIONES  BÁSICAS

129

 

 

11

EJERCICIOS PROPUESTOS

129

 

 

12

OPERACIONES COMBINADAS CON SIGNOS DE AGRUPACION

130

 

 

13

AUTOEVALUACION   DE LA  UNIDAD

132

 

 

 

 

 

 

VIII

 

LEYES DE LOS EXPONENTES, RAIZ CUADRADA  Y DIVISORES EN LOS NUMEROS NATURALES           

135

 

 

 

 

 

 

 

1

POTENCIACION DE NUMEROS NATURALES

135

 

 

2

LEYES DE EXPONENTES

136

 

 

3

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Y DESCOMPOSICIÓN DE UN NUMERO EN  SUS FACTORES

138

 

 

4

MULTIPLOS DE UN NUMERO NATURAL

141

 

 

 5

DIVISORES DE UN NUMERO NATURAL

141

 

 

6

NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

142

 

 

7

NUMEROS PRIMOS

142

 

 

8

NUMEROS COMPUESTOS

143

 

 

9

DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOS

143

 

 

10

MAXIMO COMUN DIVISOR

144

 

 

11

MÍNIMO COMUN MULTIPLO

146

 

 

12

AUTOEVALUACION   DEL MODULO

147

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

150

 

 

 

 

 

 

I

 

EXPRESION GENERAL DE LOS NUMEROS ENTEROS

150

 

II

 

REPRESENTACION GRAFICA DE LOS ENTEROS

151

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

152

 

 

 

 

 

 

III

 

ORDENAMIENTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

152

 

 

 

 

 

 

 

1

LA RELACION MAYOR O IGUAL QUE     ≥

153

 

 

2

LA RELACION MENOR  O IGUAL QUE     ≤

154

 

 

3

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD EN LOS NUMEROS ENTEROS

154

 

 

4

PROPIEDADES DE LA RELACION DE ORDEN   ≥   EN LOS ENTEROS

154

 

 

 

 

 

 

IV

 

OPERACIONES CON LOS  ENTEROS

155

 

 

 

 

 

 

 

1

REGLAS PARA SUMAR ENTEROS

155

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

155

 

 

3

NUMEROS OPUESTOS

156

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

156

 

 

5

PROPIEDADES DE LA SUMA DE ENTEROS

157

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS

159

 

 

7

RESTA O SUSTRACCION DE ENTEROS

159

 

 

8

REPRESENTACION GRAFICA DE LA RESTA DE DOS ENTEROS

160

 

 

9

  EJERCICIOS PROPUESTOS

161

 

 

10

LA MULTIPLICACION DE NUMEROS ENTEROS

161

 

 

11

LEY DE LOS SIGNOS EN LA MULTIPLICACION

162

 

 

12

EJERCICIOS RESUELTOS

162

 

 

13

MULTIPLICACION DE TRES O MAS NUMEROS ENTEROS

163

 

 

14

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROS

164

 

 

15

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA PROPIEDAD 1

165

 

 

16

EJERCICIOS  RESUELTOS  DE LA PROPIEDAD 2

165

 

 

17

EJERCICIOS  PROPUESTOS  DE LA PROPIEDAD 3

167

 

 

18

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION RESPECTO A LA SUMA

167

 

 

19

EJERCICIOS PROPUESTOS

169

 

 

20

OTRAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION

169

 

 

 

 

 

 

V

 

POTENCIACION DE ENTEROS

169

 

 

 

 

 

 

 

1

LEYES DE LOS EXPONENTES

170

 

 

2

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA LEY  1

170

 

 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS  PROPIEDAD 2

172

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS PROPIEDAD 3

173

 

 

5

EJERCICIOS RESUELTOS DE LA PROPIEDAD 4

174

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA PROPIEDAD 5

175

 

 

 

 

 

 

VI

 

NOTACION CIENTIFICA

175

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

177

 

 

 

 

 

 

VII

 

AUTOEVALUACIÓN

178

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

182

 

 

 

 

 

 

I

 

FRACCIONES COMUNES

183

 

 

 

 

 

 

II

 

CONSTRUCCIÓN DE LOS NUMEROS RACIONALES

184

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS RESUELTOS

186

 

 

 

 

 

 

III

 

LAS FRACCIONES Y LA RECTA NUMERICA

190

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

191

 

 

 

 

 

 

IV

 

OPERACIONES CON FRACCIONES

192

 

 

 

 

 

 

 

1

ADICION DE FRACCIONES DEL MISMO DENOMINADOR

192

 

 

2

PROBLEMAS PROPUESTOS

193

 

 

3

SUMA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR

196

 

 

4

EJERCICIOS RESUELTOS

197

 

 

5

EJERCICIOS PROPUESTOS

198

 

 

 

 

 

 

V

 

  EL PRODUCTO EN NUMEROS RACIONALES

199

 

 

 

 

 

 

 

1

EJERCICIOS PROPUESTOS

200

 

 

2

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE NUMEROS RACIONALES

200

 

 

 

 

 

 

VI

 

EL COCIENTE DE NUMEROS RACIONALES O FRACCIONARIOS

203

 

VII

 

AUTOEVALUACIÓN

203

 

VIII

 

LOS NUMEROS RACIONALES Y LOS DECIMALES PERIODICOS

206

 

 

 

 

 

 

 

1

 SUMA Y RESTA DE NUMEROS DECIMALES

207

 

 

2

PRODUCTO DE FRACCIONES DECIMALES

208

 

 

3

DIVISION DE DECIMALES

209

 

 

4

OTRA FORMA COMO EFECTUAR UNA DIVISIÓN

209

 

 

5

EJERCICIOS PROPUESTOS

211

 

 

6

CONVERSION DE FRACCIONES ORDINARIAS EN DECIMALES Y VICEVERSA

211

 

 

7

UN TEOREMA BASICO: DECIMALES PUROS Y DECIMALES MIXTOS

213

 

 

11

AUTOEVALUACION

217

 

 

12

RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS

218

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

LOS RADICALES  Y  EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES 

219

 

 

 

 

 

 

I

 

CONCEPTOS GENERALES DE LOS RADICALES

219

 

II

 

LEYES DE LOS RADICALES

221

 

III

 

RADICALES SEMEJANTES Y OTROS RADICALES

221

 

 

 

 

 

 

 

1

OPERACIONES CON RADICALES

221

 

 

2

EJERCICIOS RESUELTOS Y EJERCICIOS PROPUESTOS

223

 

 

3

LA SUMA DE RADICALES SEMEJANTES

226

 

 

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

228

 

 

5

PRODUCTO DE RADICALES DEL MISMO ORDEN O CLASE

228

 

 

6

EJERCICIOS PROPUESTOS

230

 

 

7

LA DIVISION DE RADICALES DEL MISMO ORDEN O CLASE

231

 

 

8

EJERCICIOS PROPUESTOS

232

 

 

9

RACIONALIZACION DE LOS DENOMINADORES

234

 

 

10

RESUMEN DE LOS RADICALES

234

 

 

11

EJERCICIOS RESUELTOS

237

 

 

12

EJERCICIOS PROPUESTOS

239

 

 

 

 

 

 

IV

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES

241

 

V

 

AUTOEVALUACIÓN

244

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES  ¡

247

 

 

 

 

 

 

I

 

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA SUMA 

248

 

II

 

PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN MULTIPLICACION  

248

 

III

 

LEYES DE LOS EXPONENTES 

250

 

IV

 

LOS INTERVALOS DE NUMEROS REALES

253

 

V

 

EL  VALOR ABSOLUTO

254

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

276

 

 

 

 

 

 

I

 

OPERATORIA CON NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA CARTESIANA: PROBLEMAS RESUELTOS

277

 

II

 

PRODUCTO DE NUMEROS COMPLEJOS

280

 

III

 

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS

280

 

IV

 

LA DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS: EJERCICIOS RESUELTOS

283

 

V

 

EJERCICIOS PROPUESTOS

286

 

 

 

 

 

M

 

 

BIBLIOGRAFIA

287

 

 

 

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